Drgania elektromagnetyczne

Zapamiętaj

W idealnym obwodzie LC zachodzą drgania elektromagnetyczne polegające na okresowej zamianie energii pola elektrycznego kondensatora na energię pola magnetycznego cewki i odwrotnie.

Energia pola elektrycznego kondensatora:

\(E_C=\frac{Q^2}{2C}\)

Energia pola magnetycznego cewki:

\(E_L=\frac{LI^2}{2}\)

W idealnym obwodzie LC całkowita energia jest stała:

\(E=E_C+E_L=\text{const}\)

Częstość kołowa drgań własnych:

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

Częstotliwość drgań własnych, zgodnie ze wzorem Thomsona:

\(f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

Gdy kondensator jest maksymalnie naładowany, energia pola elektrycznego jest największa, a natężenie prądu jest równe zeru.

Gdy natężenie prądu osiąga największą wartość, energia pola magnetycznego cewki jest największa.

W rzeczywistym obwodzie RLC występują straty energii, dlatego amplituda drgań stopniowo maleje i drgania są tłumione.

Rozważmy obwód LC składający się z naładowanego kondensatora o pojemności \(C\) oraz cewki o indukcyjności \(L\).

W idealnym obwodzie LC, w którym pomijamy opór elektryczny, drgania elektromagnetyczne nie zanikają. W rzeczywistym obwodzie występuje jednak rezystancja, dlatego część energii jest zamieniana na ciepło i amplituda drgań stopniowo maleje. Otrzymujemy wówczas tłumione drgania elektromagnetyczne w obwodzie RLC.

obwód rezonansowy

Początkowo na okładkach kondensatora zgromadzone są ładunki przeciwnych znaków, a między okładkami występuje napięcie elektryczne. Po zamknięciu obwodu kondensator zaczyna się rozładowywać, co powoduje przepływ prądu przez cewkę.

Wraz ze wzrostem natężenia prądu rośnie energia pola magnetycznego cewki. Gdy kondensator zostanie rozładowany, prąd nie zanika natychmiast. Zjawisko samoindukcji powoduje podtrzymanie jego przepływu, dzięki czemu kondensator zostaje ponownie naładowany, lecz z przeciwną polaryzacją.

Następnie proces zachodzi w przeciwnym kierunku. W ten sposób w obwodzie powstają drgania elektromagnetyczne.

W rzeczywistym obwodzie RLC drgania są tłumione, dlatego ich amplituda stopniowo maleje.

Ewa Trawińska © medianauka.pl

Częstotliwość drgań własnych

Częstotliwość drgań własnych idealnego obwodu LC zależy od indukcyjności cewki i pojemności kondensatora. Częstość kołowa drgań własnych jest równa:

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

Stąd częstotliwość drgań własnych:

\(f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

Zależność tę nazywamy wzorem Thomsona.

Wzór Thomsona opisuje dokładnie częstotliwość drgań własnych idealnego obwodu LC. W rzeczywistym obwodzie RLC, jeżeli tłumienie jest niewielkie, częstotliwość drgań jest bardzo zbliżona do tej wartości.

Poziom zaawansowany

Dla idealnego obwodu LC zachodzi równanie:

\(L\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{Q}{C}=0\)

czyli:

\(\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{1}{LC}Q=0\)

Jest to równanie drgań harmonicznych, dla których:

\(\omega_0^2=\frac{1}{LC}\)

Stąd:

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)

Przemiana energii

Podczas opisanych wyżej drgań ma miejsce ciągła zamiana energii pola elektrycznego w kondensatorze

\(E_C=\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}\)

na energię pola magnetycznego w zwojnicy

\(E_L=\frac{1}{2}LI^2\)

Gdy kondensator jest maksymalnie naładowany, energia pola elektrycznego jest największa, a natężenie prądu jest równe zeru.

Gdy kondensator jest chwilowo rozładowany, natężenie prądu osiąga największą wartość, a energia pola magnetycznego cewki jest największa.

W idealnym obwodzie LC nie występują straty energii, dlatego suma energii pola elektrycznego i magnetycznego jest stała:

\(E=E_C+E_L=\text{const}\)

Dobroć obwodu

W rzeczywistym obwodzie występuje rezystancja oraz inne straty energii. Część energii elektromagnetycznej jest zamieniana między innymi na ciepło, dlatego amplituda drgań stopniowo maleje.

Miara tego, jak słabo tłumione są drgania w obwodzie, nazywana jest dobrocią obwodu. Dla szeregowego obwodu RLC dobroć oznaczmy symbolem \(q\), aby nie mylić jej z ładunkiem elektrycznym \(Q\):

\(q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\)

Im większa dobroć obwodu, tym wolniej maleje amplituda drgań.

Gdy \(R\) dąży do zera, drgania stają się drganiami nietłumionymi.

Analogia między drganiami w obwodzie LC a drganiami mechanicznymi

Między drganiami mechanicznymi a elektromagnetycznymi w obwodzie LC (lub RLC) zachodzi analogia. Ilustruje to poniższa tabelka.

Drgania obwodu LC	Drgania mechaniczne
\(Q\) - ładunek zgromadzony w kondensatorze	\(x\) - wychylenie z położenia równowagi
\(L\) - indukcyjność zwojnicy	\(m\) - masa
\(\frac{1}{C}\)	\(k\) - współczynnik sprężystości
\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)	\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(E_C\) - energia pola elektrycznego	\(E_p\) - energia potencjalna sprężystości (równa \(\frac{kx^2}{2}\))
\(E_L\) - energia pola magnetycznego	\(E_k\) - energia kinetyczna (równa \(\frac{mv^2}{2}\))
\(I=\frac{dQ}{dt}\) - natężenie prądu	\(v=\frac{dx}{dt}\) - prędkość