Obwód RLC
W szeregowym obwodzie RLC przez rezystor, cewkę i kondensator płynie prąd o tym samym natężeniu.
Na rezystorze napięcie i natężenie prądu są zgodne w fazie.
Na idealnej cewce napięcie wyprzedza natężenie prądu w fazie o \(\frac{\pi}{2}\).
Reaktancja indukcyjna cewki:
\(X_L=\omega L=2\pi fL\)
Na kondensatorze napięcie jest opóźnione względem natężenia prądu w fazie o \(\frac{\pi}{2}\).
Reaktancja pojemnościowa kondensatora:
\(X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}\)
Impedancja szeregowego obwodu RLC:
\(Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)
oraz:
\(Z=\frac{U_{sk}}{I_{sk}}\)
Przesunięcie fazowe między napięciem źródła a natężeniem prądu spełnia zależność:
\(\tan\phi=\frac{X_L-X_C}{R}\)
Rezonans występuje, gdy:
\(X_L=X_C\)
W rezonansie:
\(Z=R\)
\(\phi=0\)
Częstotliwość rezonansowa:
\(f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
W obwodzie prądu przemiennego zawierającym wyłącznie rezystor napięcie i natężenie prądu są zgodne w fazie. Oznacza to, że jednocześnie osiągają wartości maksymalne, minimalne i przechodzą przez zero.
Dla wartości skutecznych napięcia i natężenia prądu na rezystorze zachodzi:
W obwodach prądu przemiennego stosuje się ponadto kondensatory (pojemności \(C\)) oraz zwojnice (indukcyjności \(L\)).
Obwód z indukcyjnością
Rozpatrzmy obwód prądu przemiennego jedynie z indukcyjnością.
Spadek napięcia na cewce wynosi:
\(U_L=L\frac{dI}{dt}\)
Wiedząc, że \(I=I_0\sin{\omega t}\), otrzymujemy następujący wzór na spadek napięcia na cewce:
\(U_L=I_0\omega L\cos{\omega t}=I_0\omega L\sin{(\omega t+\frac{\pi}{2})}\)
Na cewce zachodzi spadek napięcia:
Widać, że napięcie i natężenie prądu w obwodzie z indukcyjnością nie jest zgodne w fazie. Napięcie wyprzedza natężenie w fazie o kąt \(\frac{\pi}{2}\).
Reaktancja indukcyjna \(X_L\) jest równa:
i zależy od indukcyjności cewki oraz od częstotliwości prądu w obwodzie.
Poniższy wykres przedstawia zależność spadku napięcia na cewce (czerwony wykres) i natężenia prądu (zielony wykres) w obwodzie prądu przemiennego tylko z indukcyjnością.
Obwód z pojemnością
Rozpatrzmy obwód prądu przemiennego z pojemnością \(C\).
Napięcie na kondensatorze o pojemności \(C\) wynosi:
\(U_C=\frac{Q}{C}\)
Ponieważ \(I=\frac{dQ}{dt}\), możemy zapisać:
\(U_C=\frac{1}{C}\int I\,dt\)
Dla \(I=I_0\sin{\omega t}\) otrzymujemy:
Napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie względem natężenia prądu o kąt \(\frac{\pi}{2}\).
Reaktancja pojemnościowa \(X_C\) jest równa:
Poniższy wykres przedstawia zależność spadku napięcia na pojemności (czerwony wykres) i natężenia prądu (niebieski wykres) w obwodzie prądu przemiennego tylko z pojemnością.
Obwody RLC
Obwód RLC zawiera rezystor \(R\), cewkę o indukcyjności \(L\) oraz kondensator o pojemności \(C\). Elementy te mogą być łączone na różne sposoby. W dalszej części rozpatrujemy szeregowy obwód RLC.
Najprostszy obwód RLC, w którym elementy R, L i C są połączone szeregowo, pokazano na rysunku.
Napięcie źródła prądu przemiennego będzie równe:
\(U=U_R+U_L+U_C\)
Natężenie prądu przemiennego sinusoidalnie zmienia się w czasie jak: \(I=I_0\sin{\omega t}\).
Napięcie \(U\) przyjmuje postać:
gdzie \(\phi\) jest przesunięciem fazowym między napięciem źródła a natężeniem prądu. Wartość tego przesunięcia zależy od rezystancji \(R\), indukcyjności \(L\), pojemności \(C\) oraz częstotliwości prądu.
Diagram wskazowy
Diagram wskazowy, lub wskaz, jest to graficzny sposób, który pozwala wyznaczyć przesunięcie fazowe w obwodzie RLC. Używa się tu strzałek (nie wektorów) w następujący sposób:
Długość strzałki jest równa wartości amplitudy \(U\) lub \(I\). Kierunek spadku \(U_R\) i prądu \(I\) jest oznaczany na diagramie w prawo. \(U_L\) pionowo w górę, \(U_C\) - pionowo w dół. Kąt między strzałką napięcia (sumą wszystkich napięć) a strzałką prądu jest szukanym kątem przesunięcia fazowego.
Przyjrzyj się poniższej ilustracji, aby to zrozumieć.
Powyższe przesunięcie fazowe można wyliczyć na podstawie wzoru:
Amplituda napięcia dana jest wzorem:
Impedancja, zawada, reaktancja
Impedancja albo zawada \(Z\) jest to całkowity opór obwodu prądu przemiennego. Wzór na impedancję w obwodzie RLC jest następujący:
\(Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}\)
W przypadku ustalonego prądu stałego zachowanie elementów jest inne niż przy prądzie przemiennym. Idealna cewka po zakończeniu stanu przejściowego zachowuje się jak przewodnik, natomiast kondensator po naładowaniu nie przewodzi ustalonego prądu stałego. Dlatego wzorów na impedancję szeregowego obwodu RLC nie należy interpretować przez proste podstawienie \(f=0\).
Wielkość:
nazywamy reaktancją obwodu. Wówczas impedancja ma wartość:
Przez impedancję rozumie się także stosunek wartości skutecznych napięcia i natężenia prądu zmiennego.
Rezonans w obwodzie RLC
W szeregowym obwodzie RLC szczególnym przypadkiem jest rezonans napięć. Występuje on wtedy, gdy reaktancja indukcyjna cewki jest równa reaktancji pojemnościowej kondensatora: \(X_L=X_C\)
Czyli:
Wówczas reaktancje cewki i kondensatora wzajemnie się znoszą, dlatego całkowita reaktancja obwodu jest równa zeru:
\(X=X_L-X_C=0\)
Impedancja szeregowego obwodu RLC osiąga wtedy najmniejszą wartość i jest równa rezystancji: \(Z=R\)
Przesunięcie fazowe między napięciem źródła a natężeniem prądu znika: \(\phi=0\)
Napięcie i natężenie prądu są więc zgodne w fazie. Dla ustalonej amplitudy napięcia źródła natężenie prądu osiąga w rezonansie największą wartość.
Częstość kołową, przy której występuje rezonans, nazywamy częstością rezonansową. Wyznaczamy ją z warunku:
\(\omega_0L=\frac{1}{\omega_0C}\)
Stąd:
Ponieważ \(\omega_0=2\pi f_0\), częstotliwość rezonansowa jest równa:
gdzie:
- \(f_0\) – częstotliwość rezonansowa,
- \(L\) – indukcyjność cewki,
- \(C\) – pojemność kondensatora.
Jeżeli częstotliwość jest mniejsza od częstotliwości rezonansowej, dominuje reaktancja pojemnościowa. Jeżeli częstotliwość jest większa od częstotliwości rezonansowej, dominuje reaktancja indukcyjna.
Zjawisko rezonansu wykorzystuje się między innymi w układach służących do wybierania sygnałów o określonej częstotliwości, na przykład w obwodach radiowych.
Jak częstotliwość wpływa na obwód RLC?
Szeregowy obwód RLC zasilany napięciem sinusoidalnym. Zmieniaj parametry i obserwuj impedancję, przesunięcie fazowe oraz rezonans.
Diagram wskazowy napięć
Przebiegi w dwóch okresach (oś: t/T)
Krzywa rezonansowa \( I_{sk}(f) \)
Charakter obwodu: gdy \( X_L > X_C \) — obwód ma charakter indukcyjny i napięcie wyprzedza prąd; gdy \( X_L < X_C \) — charakter pojemnościowy i prąd wyprzedza napięcie; gdy \( X_L = X_C \) — rezonans: \( |Z| = R \), \( \varphi = 0 \), a natężenie skuteczne osiąga maksimum \( I_{sk} = \frac{U_{sk}}{R} \).
Zmieniaj R przy stałych L i C: małe R daje wysoki i wąski pik rezonansowy, duże R — niski i szeroki. Rezystancja decyduje o wyrazistości rezonansu.
Ćwiczenia
Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nie jesteś zalogowany.
Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się
Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Szeregowy obwód RLC jest zasilany napięciem przemiennym o wartości skutecznej \(U_{sk}=120\ \text{V}\). Rezystancja obwodu wynosi \(R=30\ \Omega\), reaktancja indukcyjna cewki \(X_L=50\ \Omega\), a reaktancja pojemnościowa kondensatora \(X_C=10\ \Omega\).
Oblicz impedancję obwodu oraz wartość skuteczną natężenia prądu.
📑 MODUŁY KURSU
Pełne śledzenie postępów kursu w planie Premium
© medianauka.pl, 2021-07-20, A-4111/2314
Data aktualizacji artykułu: 2026-09-07
