Gęstość powierzchniowa ładunku

Zapamiętaj

Gęstość powierzchniowa ładunku określa ilość ładunku elektrycznego przypadającą na jednostkę powierzchni.

Dla równomiernego rozkładu:

\(\sigma=\frac{Q}{S}\)

Jednostką gęstości powierzchniowej ładunku jest \(\frac{\text{C}}{\text{m}^2}\).

Rozpatrzmy kondensator płaski złożony z dwóch dużych, równoległych płytek naładowanych przeciwnie. Z dala od brzegów płytek pole elektryczne między nimi można w dobrym przybliżeniu uznać za jednorodne. Pomijamy efekty brzegowe, czyli zakrzywienie pola w pobliżu krawędzi płytek.

Skorzystamy z prawa Gaussa, aby wyznaczyć natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora, tuż przy powierzchni jednej z nich.

Wybieramy powierzchnię Gaussa w kształcie cienkiego prostopadłościanu obejmującego fragment jednej okładki o polu \(S\). Jedna z jego ścian znajduje się między okładkami i jest prostopadła do wektora \(\vec{D}\).

gęstość powierzchniowa ładunku

Przez ściany boczne prostopadłościanu strumień jest równy zeru, ponieważ wektor \(\vec{D}\) jest do nich równoległy. Jedna z pozostałych ścian znajduje się wewnątrz przewodnika, gdzie w stanie równowagi elektrostatycznej pole elektryczne jest równe zeru. Strumień przez tę ścianę jest więc również równy zeru.

Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa jest zatem równy strumieniowi przez ścianę znajdującą się między okładkami. Wektor powierzchniowy tej ściany jest równoległy do wektora indukcji elektrycznej \(\vec{D}\), dlatego kąt między nimi wynosi \(0^\circ\):

\(\Phi_D=DS\cos0^\circ=DS\)

Z prawa Gaussa wynika, że strumień indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równy ładunkowi swobodnemu \(Q\) znajdującemu się wewnątrz tej powierzchni:

\(\Phi_D=Q\)

Porównując oba wyrażenia na strumień, otrzymujemy:

\(Q=DS\)

\(D=\frac{Q}{S}\)

Ponieważ dla równomiernego rozkładu ładunku \(\sigma=\frac{Q}{S}\), otrzymujemy:

\(D=\sigma\)

Stosunek ładunku \(Q\) do powierzchni \(S\), na której jest zgromadzony nazywamy gęstością powierzchniową ładunku (oznaczamy przez \(\sigma\)).

Możemy też w podobny sposób wyrazić natężenie pola elektrycznego (gdyż \(\vec{D}= \varepsilon \vec{E}\)). Mamy więc:

\(E=\frac{\sigma}{\varepsilon}\)

Zależność \(E=\frac{\sigma}{\varepsilon}\) opisuje natężenie pola elektrycznego tuż przy powierzchni przewodnika znajdującego się w stanie równowagi elektrostatycznej, przy założeniu jednorodnego ośrodka.

Jak rozkłada się ładunek na powierzchni przewodnika?

Ładunek elektryczny na powierzchni przewodnika nie zawsze rozkłada się równomiernie. Jego gęstość powierzchniowa zależy między innymi od kształtu przewodnika.

W miejscach o dużej krzywiźnie powierzchni, szczególnie w pobliżu ostrzy, gęstość powierzchniowa ładunku jest większa. W takich miejscach większe jest również natężenie pola elektrycznego tuż przy powierzchni przewodnika.

W pobliżu ostrego zakończenia przewodnika natężenie pola elektrycznego może osiągnąć bardzo dużą wartość. Jeśli pole jest wystarczająco silne, może powodować jonizację otaczającego powietrza i stopniowe odprowadzanie ładunku z przewodnika. Zjawisko to nazywa się wyładowaniem koronowym lub ulotem elektrycznym.

Rozkład ładunku