Pole wektorowe

Pole wektorowe jest to funkcja, która każdemu punktowi \(P\) pewnego obszaru przyporządkowuje wektor \(\vec{V}\).

Pole wektorowe możemy opisać zatem za pomocą funkcji:

\(\vec{V}=\vec{V}(P)\).

Można też opisać pole wektorowe za pomocą wektora wodzącego:

\(\vec{V}=\vec{V}(\vec{r})\)

Jeżeli zaś pole wektorowe zmienia się w czasie \(t\), możemy je opisać poprzez funkcję:

\(\vec{V} = \vec{V}(\vec{r},t)\).

Przykłady pól wektorowych

Przykładem pola wektorowego jest:

pole siły grawitacyjnej;
pole prędkości wiatru;
pole indukcji magnetycznej.

Pole centralne

Centralne pole wektorowe jest szczególnym przypadkiem pola wektorowego, często spotykanym w fizyce. Mamy z nim do czynienia wówczas, jeżeli wszystkie wektory \(\vec{V}\) leżą na prostych, przecinających się w jednym punkcie centralnym tego pola (centrum pola). Jeżeli dodatkowo długość wektora \(\vec{V}\) zależy jedynie od modułu wektora wodzącego, to takie pole nazywamy polem wektorowym sferycznym.

Pole wektorowe w układzie kartezjańskim opisujemy w następujący sposób:

\(\vec{V} = V_x(x,y,z)\vec{i}+V_y(x,y,z)\vec{j}+V_z(x,y,z)\vec{k}\).

Zatem każde pole wektorowe można opisać za pomocą trzech funkcji skalarnych.

Interpretacja geometryczna pola wektorowego

Innym rodzajem pola jest pole skalarne, o którym jest mowa w odrębnym artykule.

Pole wektorowe można przedstawić graficznie jako zbiór wektorów (strzałek) przypisanych do punktów przestrzeni. Każdy wektor cechuje kierunek, zwrot oraz długość (im dłuższa strzałka, tym silniejsze pole w tym miejscu).

Taka interpretacja pozwala łatwo zobaczyć, jak pole zmienia się w przestrzeni oraz gdzie jest silniejsze lub słabsze.

W praktyce, zamiast rysować wektor w każdym punkcie, przedstawia się je w wybranych miejscach, aby zachować czytelność rysunku.

Poniższa ilustracja porównuje (w uproszczony sposób i schematycznie) oba rodzaje pól.

Linie pola

Pole wektorowe można również przedstawić za pomocą linii pola (linii sił). Są to krzywe, których styczna w każdym punkcie ma kierunek zgodny z wektorem pola. Oznacza to, że:

linie pola pokazują kierunek działania pola,
wektor pola w danym punkcie jest styczny do linii pola,
gęstość linii pola informuje o sile pola – im więcej linii w danym obszarze, tym pole jest silniejsze.

Przykładem są linie pola elektrycznego wokół ładunku lub linie pola magnetycznego wokół magnesu. Na rysunku przedstawiono linie pola elektrycznego z naszej symulacji pola elektrostatycznego w 3D.

linie pola 1

linie pola 2

Linie pola są bardzo użyteczne, ponieważ pozwalają w przejrzysty sposób przedstawić strukturę i działanie pola w całej przestrzeni.

Sens fizyczny pola wektorowego

Pole wektorowe w fizyce służy do opisu oddziaływań zachodzących w przestrzeni. Każdemu punktowi przypisany jest wektor, który określa, jak działa dane pole na ciało umieszczone w tym punkcie. Wektor ten wskazuje kierunek i zwrot działania siły (oddziaływania), wartość – określającą jego „siłę” (natężenie). Pole wektorowe pozwala opisywać zjawiska w sposób lokalny – poprzez działanie w każdym punkcie przestrzeni, bez potrzeby rozpatrywania bezpośrednich oddziaływań między ciałami.

Związek z polem skalarnym

Pole wektorowe może być powiązane z polem skalarnym za pomocą operatorów matematycznych.

Najważniejszym z nich jest gradient, który przekształca pole skalarne w pole wektorowe. Gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego oraz informuje, jak szybko wartość tego pola zmienia się w przestrzeni.

Istnieją także operatory działające na pola wektorowe:

dywergencja – opisuje „źródła” i „ujścia” pola,
rotacja – opisuje „wirowość” pola.

Dzięki tym narzędziom możliwe jest matematyczne i fizyczne analizowanie pól oraz ich zmian w przestrzeni.