Praca w polu elektrostatycznym

Zapamiętaj

Praca siły pola elektrostatycznego w jednorodnym polu wynosi:

\(W=q_0Es\cos\alpha\)

Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym, dlatego praca siły pola zależy tylko od położenia początkowego i końcowego ładunku, a nie od toru jego ruchu.

Zmiana energii potencjalnej ładunku jest równa pracy siły pola ze znakiem przeciwnym:

\(\Delta E_p=-W_{\text{pola}}\)

W polu wytworzonym przez ładunek punktowy \(Q\), przy przyjęciu \(E_p=0\) w nieskończoności:

\(E_p=\frac{kQq_0}{r}\)

Na ładunek \(q_0\) umieszczony w polu elektrostatycznym działa siła elektryczna. Jeżeli pod wpływem tej siły ładunek ulega przemieszczeniu, siła pola wykonuje pracę.

W polu jednorodnym praca sił pola będzie równa:

\(W=\vec{F}\circ \vec{s}\)

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego otrzymujemy:

\(W=Fs\cos\beta\)

gdzie:

\(F\) - wartość siły pola elektrostatycznego,
\(s\) - wartość przemieszczenia ładunku \(q_0\),
\(\beta\) - kąt między wektorem siły \(\vec{F}\) a wektorem przemieszczenia.

Na ładunek \(q_0\) znajdujący się w polu elektrycznym działa siła:

\(\vec{F}=q_0\vec{E}\)

Dlatego pracę siły pola w jednorodnym polu można również zapisać w postaci:

\(W=q_0Es\cos\alpha\)

gdzie \(\alpha\) jest kątem między wektorem natężenia pola elektrycznego \(\vec{E}\) a wektorem przemieszczenia.

Jeżeli w jednorodnym polu elektrycznym przemieszczenie odbywa się zgodnie ze zwrotem wektora \(\vec{E}\), to \(\alpha=0^\circ\), a \(\cos0^\circ=1\). Wówczas:

\(W=q_0Es\)

Jeżeli przemieszczenie odbywa się przeciwnie do zwrotu wektora \(\vec{E}\), to \(\alpha=180^\circ\), a \(\cos180^\circ=-1\). Wówczas:

\(W=-q_0Es\)

W centralnym polu elektrostatycznym wytworzonym przez ładunek \(Q\) wartość natężenia pola wynosi:

\(E=k\frac{|Q|}{r^2}\)

gdzie \(r\) jest odległością od ładunku źródłowego, a \(k\) współczynnikiem proporcjonalności:

\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\)

Wartość natężenia pola \(E\) jest wielkością nieujemną, dlatego we wzorze występuje wartość bezwzględna ładunku \(Q\). Kierunek i zwrot wektora \(\vec{E}\) zależą od znaku ładunku źródłowego: dla \(Q>0\) wektor jest skierowany od ładunku, a dla \(Q<0\) – w jego stronę.

Dalej rozpatrujemy wyłącznie pole centralne.

Mając wszystkie potrzebne już wzory, jesteśmy w stanie obliczyć pracę sił zewnętrznych lub sił pola, przemieszczających ze stałą szybkością ładunek \(q_0\) z punktu \(A\) do punktu \(B\) w polu centralnym.

Praca w polu elektrostatycznym

W polu centralnym natężenie pola zmienia się wraz z odległością od ładunku źródłowego, dlatego wzoru \(W=q_0Es\cos\alpha\), właściwego dla stałego pola, nie można bezpośrednio zastosować do całego przemieszczenia.

Praca wykonana przez pole przy przemieszczeniu ładunku \(q_0\) z punktu \(A\) do punktu \(B\) wynosi:

\(W_{\text{pola}(A\to B)}=kQq_0\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)\)

Widać, że praca zależy od punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od toru, po jakim porusza się ładunek \(q_0\). Mówimy, że pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym.

Energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym

Ponieważ pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym, można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej ładunku.

Zmiana energii potencjalnej jest równa pracy siły pola ze znakiem przeciwnym:

\(\Delta E_p=-W_{\text{pola}}\)

Umownie przyjmujemy, że energia potencjalna ładunku znajdującego się w nieskończoności jest równa zeru:

\(E_p(\infty)=0\)

Praca siły pola przy przemieszczaniu ładunku \(q_0\) z nieskończoności do punktu odległego o \(r\) od ładunku \(Q\) wynosi:

\(W_{\text{pola}}=kQq_0\left(0-\frac{1}{r}\right)=-\frac{kQq_0}{r}\)

Zatem:

\(E_p=\frac{kQq_0}{r}\)

Zauważmy, że jeżeli ładunki mają takie same znaki, energia potencjalna jest dodatnia, natomiast dla ładunków różnoimiennych energia potencjalna jest ujemna.