Praca w polu elektrostatycznym

Jeżeli dowolny ładunek umieścimy w polu elektrostatycznym, to zacznie na niego działać siła oddziaływania elektrycznego o wartości F, która wykona na ładunku q₀ pewną pracę W, przemieszczając go na pewnej drodze. W Polu jednorodnym praca sił pola będzie równa:

$W=\vec{F}\circ \vec{s}$

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego otrzymujemy: $W=F\cdot s\cdot cos\alpha$

gdzie:

F - wartość siły pola elektrostatycznego,
s - droga, jaką przebył ładunek q₀ pod wpływem działania tej siły,
α - kąt między kierunkiem działania siły i przesunięcia.

Z definicji natężenia pola elektrycznego wynika, że:

$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}$ ,

więc

W = q₀E·s·cosα

Jeżeli ładunek q₀ porusza się wzdłuż linii pola (na przykład w polu centralnym), to kąt między wektorem natężenia pola a wektorem przemieszczenia jest równy α=0°, a cos0°=1. Mamy więc:

W = q₀E·s.

W centralnym polu elektrostatycznym, wytworzonym przez ładunek Q wartość natężenia pola jest równa:

gdzie r jest odległością od ładunku źródła pola, a k współczynnikiem proporcjonalności ( $k=\frac{1}{4 \pi \epsilon}$ ). Wartość wektora E nie może być ujemna, stąd wartość bezwzględna we wzorze, choć sam wektor może być ujemny.

Dalej rozpatrujemy wyłącznie pole centralne.

Mając wszystkie potrzebne już wzory, jesteśmy w stanie obliczyć pracę sił zewnętrznych lub sił pola, przemieszczających ze stałą szybkością ładunek q₀ z punktu A do punktu B w polu centralnym.

Praca w polu elektrostatycznym

Droga s we wzorze W = q₀E·s będzie równa wartości wektora przesunięcia Δr=r_B-r_A (pogrubioną czcionką oznaczono wartości wektorowe). Zatem:

$W_{pola (A\to B)} = -W_{zewn (A\to B)}=kQq_0(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})$

Widać, że praca zależy od punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od toru, po jakim porusza się ładunek q₀. Mówimy, że pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym.

Energia potencjalna pola elektrostatycznego

Analogicznie do energii potencjalnej w polu grawitacyjnym możemy wprowadzić pojęcie energii potencjalnej w polu elektrostatycznym. Energię potencjalną można zdefiniować z wykorzystaniem pojęcia siły zachowawczej. Energia potencjalna ciała w punkcie A względem punktu B jest to praca, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała z punktu A do B. Przyjmuje się, że punkt A jest w nieskończoności, wówczas 1/r_A dąży do zera przy r_A dążącym do nieskończoności.

Zatem każdy ładunek punktowy q₀ umieszczony w polu elektrostatycznym posiada energię potencjalną eletrostatycznąrówną pracy, jaką należy wykonać, aby przenieść go z nieskończoności do danego punktu pola, bez zmiany energii kinetycznej tego ładunku.

Korzystając ze wzoru na pracę sił zewnętrznych w polu elektrostatycznym otrzymujemy:

$E_p = -W_{zewn (A\to B)}=kQq_0(0-\frac{1}{r_B})$

i w efekcie pomijając indeks B:

$E_p = \frac{kQq_0}{r}$

Zauważmy, że jeżeli ładunki takich samych znaków, energia potencjalna jest dodatnia, jeżeli zaś ładunki są różnoimienne, energia potencjalna ma ujemną wartość.

Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny w danym punkcie pola jest to stosunek energii potencjalnej ładunku punktowego w danym punkcie do wartości tego ładunku.