Równanie fali

Będziemy rozpatrywać falę harmoniczną płaską, czyli taką, w której cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne, a powierzchnie falowe są równoległe.

Jeżeli kierunek fali będzie zgodny z kierunkiem osi x, a wychylenie cząsteczek ośrodka zgodne z osią y układu odniesienia, to:

y=Acos(ωt+φ)

gdzie:

  • y - wychylenie cząsteczek ośrodka materialnego,
  • A - amplituda,
  • t - czas,
  • ω - częstość kołowa,
  • φ - faza drgań.

Można tak dobrać układ odniesienia, aby faza φ w chwili t=0 była równa zeru (mamy więc y=Acos(ω·0+0)=Acos0).

Jeżeli v oznacza prędkość rozchodzenia się fali, to po czasie t=x/v punkt o współrzędnej x będzie miał taką samą fazę, tzn. y=Acos(ω·x/v+φ) i wychylenia y drgającego punktu będą równe.

Mamy więc Acos0=Acos(ω·x/v+φ), czyli

ω·x/v+φ=0

φ=-ωx/v

Wielkość ω/v to tak zwana liczba falowa.

Zatem otrzymujemy równanie harmoniczne fali płaskiej:

y=Acos(ωt-kx)

lub z uwagi na parzystość funkcji cosinus:

y=Acos(kx-ωt)

Długość fali to odległość między kolejnymi drgającymi punktami znajdujących się w tej samej fazie, czyli różniących się o kąt pełny 2π.

Zatem 2π=kλ, czyli λ=2π/k.

Inne przydatne zależności to λ=2πv/ω=vT i λ=v/f.

Korzystając z tych zależności otrzymujemy inną postać równania fali harmonicznej:

 

Jeżeli chcemy analizować ruch fali w dowolnym kierunku, na przykład w kierunku wektora \vec{k}, a położenie punktu w układzie współrzędnych opiszemy za pomocą wektora wodzącego a położenie punktu w układzie współrzędnych opiszemy za pomocą wektora wodzącego , to równanie falowe przyjmuje postać:

 

Poziom zaawansowany

Funkcja falowa

Opiszemy przypadek rozchodzenia się fali w jednym kierunku.

Jeżeli przez Ψ oznaczymy zaburzenie ośrodka (na przykład wychylenie z położenia równowagi) , to ogólne równanie fali w chwili t=0 opisze nam pena funkcja f(x), czyli Ψ=f(x). Po czasie t fala funkcja ta przyjmuje postać Ψ=f(x-vt).

Obliczymy różniczkę podwójną po czasie powyższej funkcji:

\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=v^2f''(x-vt)

i

Obliczymy teraz różniczkę drugiego rzędu funkcji falowej po współrzędnej x:

\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=f''(x-vt).

Mamy więc prawdziwą równość:

\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0

To różniczkowe równanie ruchu falowego prawdziwe dla każdego rodzaju fali.

Można to równanie uogólnić na współrzędne przestrzenne:

\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0

Używając operatora Laplace'a (laplasjan) równanie różniczkowe ruchu falowego w przestrzeni przyjmuje postać:

\nabla^2\Psi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0

Funkcja Ψ to tak zwana funkcja falowa.




Fala mechaniczna

Fala mechaniczna

Fala mechaniczna jest to rozchodzące się ze stałą prędkością w ośrodku jednorodnym zaburzenie. Zaburzenie to jest przenoszone dzięki drganiom (ruchowi harmonicznemu) cząstek ośrodka materialnego. To tak zwany ruch falowy.


© medianauka.pl, 2021-08-17, ART-4142





Polecamy w naszym sklepie

Teleskop Galileusza ozdobna replika do samodzielnego montażu
The Manga Guide Fizyka
Projektor do obserwacji plam słonecznych
Kalkulatory maukowe
Masa
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.