Ruch harmoniczny

Zapamiętaj

Ruch harmoniczny jest ruchem drgającym, w którym wychylenie od położenia równowagi zmienia się sinusoidalnie:

\(x=A\cos(\omega t+\phi)\)

Ruch harmoniczny występuje wtedy, gdy siła wypadkowa działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie do niego:

\(F_x=-kx\)

\(A\) - amplituda drgań,
\(\omega\) - częstość kątowa drgań,
\(\phi\) - faza początkowa.

Okres drgań harmonicznych

\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)

Częstotliwość drgań

\(f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\)

Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym:

\(v=-A\omega \sin(\omega t+\phi )\)
\(a=-A\omega ^2\cos(\omega t+\phi )\)
\(a = -\omega ^2 x\)

Ruchem drgającym, nazywanym również oscylacją, nazywamy ruch, w którym ciało wielokrotnie przemieszcza się po obu stronach położenia równowagi.

Drgania mogą być okresowe, gdy stan ruchu powtarza się w jednakowych odstępach czasu, albo nieokresowe, gdy takie regularne powtarzanie nie występuje. Najmniejszy dodatni czas, po którym powtarza się cały stan ruchu okresowego, nazywamy okresem drgań. Oznaczamy go symbolem \(T\), a jego jednostką jest sekunda.

Przykład

Przykładami drgań są ruch huśtawki, ruch wahadła zegara, ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, drgania struny instrumentu oraz okresowe zmiany napięcia i natężenia prądu w obwodzie prądu przemiennego.

Opis matematyczny ruchu okresowego

Dla ruchu okresowego cały stan ruchu powtarza się po upływie okresu \(T\). Oznacza to, że położenie i prędkość ciała mają po czasie \(T\) takie same wartości:

\(x(t+T)=x(t)\)

\(v(t+T)=v(t)\)

Okres \(T\) jest najmniejszym dodatnim czasem, po którym powtarza się cały stan ruchu.

Ogólny ruch okresowy można opisywać różnymi funkcjami okresowymi. Ruch harmoniczny jest jednak szczególnym rodzajem ruchu okresowego, w którym wychylenie zmienia się zgodnie z funkcją sinus lub cosinus.

Drgania harmoniczne

Przyjmijmy, że położeniu równowagi odpowiada współrzędna \(x=0\). Wychylenie ciała od położenia równowagi zmienia się wtedy zgodnie ze wzorem:

\(x=A\cos(\omega t+\phi)\)

gdzie:

\(A\) – amplituda drgań, czyli największa wartość wychylenia od położenia równowagi,
\(\omega\) – częstość kątowa drgań, nazywana również pulsacją,
\(\omega t+\phi\) – faza drgań,
\(\phi\) – faza początkowa.

Warto dodać, że do wyrażenia ruchu harmonicznego można użyć także funkcji sinus. Wówczas mamy: \(x=A\sin(\omega t+\phi _s)\), gdzie \(\phi _s=\phi +\frac{\pi}{2}\).

Wykres ruchu harmonicznego

Poniższy rysunek ilustruje, jak wygląda wykres zależności \(x(t)\) w ruchu harmonicznym, uwzględniając przypadek niezerowej fazy początkowej.

Skąd się wziął powyższy wzór i wykres? Wszystko przez analogię między ruchem jednostajnym po okręgu a ruchem harmonicznym.

Analogia między drganiami harmonicznymi a ruchem po okręgu

Istnieje bardzo duże podobieństwo między wspomnianymi rodzajami ruchu. Ruch po okręgu można potraktować jako złożenie prostopadłych drgań harmonicznych, co wyraźnie widać w poniższej symulacji.

Kulka poruszająca się po okręgu ze stałą prędkością kątową \(\omega\) ma swoje rzuty na osie \(x\) i \(y\) wykonujące ruch harmoniczny prosty. Wykres po lewej pokazuje, jak zmienia się w czasie współrzędna \(y\) — dokładnie ten sam przebieg, który „kreśli" rzut kulki z okręgu na oś pionową.

Amplituda 4,0

Częstość kołowa \(\omega\) 3,0

Pokaż wektor prędkości, promień i kąt

\( x(t) = A\cos(\omega t) \qquad y(t) = A\sin(\omega t) \qquad T = \dfrac{2\pi}{\omega} \)

Ujęcie dynamiczne

Można jeszcze inaczej zdefiniować ruch harmoniczny. Oto definicja uwzględniająca siłę działającą na rozpatrywane ciało.

Ruch harmoniczny to taki ruch, w którym działająca na ciało siła jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do niego zwrócona.

Składowa x siły jest dana wzorem:

\(F_x=-kx\)

gdzie

\(k\) – współczynnik proporcjonalności; dla układu ze sprężyną jest to stała sprężystości wyrażana w niutonach na metr, zależna od materiału, budowy i wymiarów sprężyny,
\(F_x\) - składowa \(x\) siły działającej na ciało,
\(x\) - współrzędna (wychylenie) ciała na osi.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki:

\(ma=-kx\)

Stąd:

\(a=-\frac{k}{m}x\)

Porównując tę zależność z równaniem \(a=-\omega^2x\), otrzymujemy:

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

Dla ciężarka o masie \(m\) zawieszonego na idealnej sprężynie częstość kątowa zależy więc od masy ciężarka i stałej sprężystości sprężyny.

Okres drgań harmonicznych

Okres drgań harmonicznych to czas, jaki jest potrzebny do zakończenia jednego pełnego cyklu drgania harmonicznego

W ruchu harmonicznym okres drgań jest dany wzorem:

\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)

Poziom zaawansowany

Wyprowadzenie okresu drgań.

Korzystając ze wzorów \(x(t)=x(t+T)\) oraz \(x=A\cos(\omega t+\phi )\) otrzymujemy:

\(A\cos(\omega t+\phi )=A\cos[\omega (t+T)+\phi ]=A\cos(\omega t+\omega T+\phi )\)

Ponieważ okresem funkcji cosinus jest liczba \(2\pi\), bo \(cosx=cos(x+2\pi )\), to z powyższego wzoru wynika, że:

\(\omega T=2\pi \), czyli \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).

Związek częstości kątowej drgań z częstotliwością drgań jest następujący:

\(f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\)

Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc:

\(1\ \text{Hz}=1\ \text{s}^{-1}\)

Jednostką okresu jest sekunda, jednostką prędkości metr na sekundę, a jednostką przyspieszenia metr na sekundę do kwadratu.

Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym

Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym:

\(v=-A\omega \sin(\omega t+\phi )\)

Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym:

\(a=-A\omega ^2\cos(\omega t+\phi )\)

Z porównania powyższego wzoru z równaniem ruchu harmonicznego wynika zależność:

\(a = -\omega ^2 x\)

Poziom zaawansowany

Wyprowadzenie powyższych wzorów:

\(v=\frac{dx}{dt}=\frac{d[A\cos(\omega t+\phi )]}{dt}=-A\omega \sin(\omega t+\phi)\),

(Pochodną funkcji \(cos(t)\) po czasie \(t\) jest funkcja \(-\sin(t)\), zaś pochodną funkcji wewnętrznej \(\omega t\) po czasie \(t\) jest \(\omega\).)

\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{d[-A\omega \sin(\omega t+\phi)]}{dt}=-A\omega ^2 \cos(\omega t+\phi)\)

Ostatni wzór można zapisać jako:

\(a = -A\omega ^2 \cos(\omega t+\phi ) = -\omega ^2 \cdot A\cos(\omega t+\phi ) = -\omega ^2 x\)

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

Nie jesteś zalogowany.

Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się

Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Moduł pomiarowy o masie \(0{,}50\ \text{kg}\) zamocowano do poziomej sprężyny o stałej sprężystości \(200\ \frac{\text{N}}{\text{m}}\). Moduł wychylono z położenia równowagi o \(6{,}0\ \text{cm}\), a następnie puszczono bez nadawania mu prędkości początkowej.

Oblicz:

częstość kątową drgań,
okres i częstotliwość drgań,
maksymalną wartość prędkości i przyspieszenia modułu,
wychylenie, prędkość i przyspieszenie modułu po czasie równym jednej ósmej okresu.

Załóż, że opory ruchu można pominąć, a sprężyna jest idealna.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W muzeum znajduje się zegar wahadłowy. Długość jego wahadła, mierzona od punktu zawieszenia do środka masy obciążnika, wynosi \(1{,}00\ \text{m}\). Wahadło wychylono o niewielki kąt i puszczono bez prędkości początkowej.

Oblicz: