Funkcje trygonometryczne
W tym artykule odpowiadamy na pytanie co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta. Funkcje te definiujemy w różny sposób.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

Określone są pewne związki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, a mianowicie definiujemy następujące funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
sinus
Co to jest sinus?
Definicja
Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu do przeciwprostokątnej.

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta , używając powyższej definicji:
.
cosinus
Definicja
Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego do przeciwprostokątnej.

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta , używając powyższej definicji:
.
tangens
Definicja
Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu do przyprostokątnej przyległej.

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta , używając powyższej definicji:
.
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.
cotangens
Definicja
Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego do przyprostokątnej przeciwległej.

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta , używając powyższej definicji:
.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.
secans
Definicja
Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przyległej kąta ostrego .

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta , używając powyższej definicji:
.
cosecans
Definicja
Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu .

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta , używając powyższej definicji:
.
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:
![]() | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
![]() | 0 | ![]() | ![]() | ![]() | 1 |
![]() | 1 | ![]() | ![]() | ![]() | 0 |
![]() | 0 | ![]() | 1 | ![]() | - |
![]() | - | ![]() | 1 | ![]() | 0 |
Tabela z funkcjami trygonometrycznymi jest tak często wykorzystywana w matematyce, że warto jej nauczyć się na pamięć. Najlepiej zrobić to za pomocą darmowej aplikacji, do której link znajduje się poniżej. ostrych.
Zauważamy, że:
Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.
Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:
Przykład
Chłopiec stoi w odległości 100 m od latarni, którą widzi pod kątem 30°. Jaka jest wysokość latarni?

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego
W niniejszym artykule uogólnimy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
Niech dany będzie w układzie współrzędnych dowolny kąt skierowany o mierze α. Na końcowym ramieniu kąta obieramy dowolny punkt M, dla którego określamy odciętą x, rzędną y oraz promień wodzący r (patrz na poniższy rysunek):

Definicja

Zauważmy, że funkcje sinus i cosinus są określone dla każdego kąta (r, które występuje w mianowniku jest zawsze różne od zera). Funkcje tangens i cotangens nie są określone dla wszystkich kątów. Funkcja tangens nie jest określona dla kąta 90°, bo wówczas x=0, a x jest w mianowniku.
Znak funkcji trygonometrycznych
Ponieważ r jest zawsze dodatnie, to:
- znak funkcji sinus zależy od znaku rzędnej,
- znak funkcji cosinus zależy od znaku odciętej,
- znak funkcji tangens i cotangens jest dodatni, gdy rzędna i odcięta są tego samego znaku.
Zapiszemy w tabeli znaki poszczególnych funkcji trygonometrycznych w kolejnych ćwiartkach układu współrzędnych:
0° | I ćwiartka | 90° | II ćwiartka | 180° | III ćwiartka | 270° | IV ćwiartka | 360° | |
![]() | 0 | + | 1 | + | 0 | - | -1 | - | 0 |
![]() | 1 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 1 |
![]() | 0 | + | x | - | 0 | + | x | - | 0 |
![]() | x | + | 0 | - | x | + | 0 | - | x |
Objaśnienia do tabelki
Jak wypełnić samemu powyższą tabelkę? Weźmy na przykład kąt 90° i II ćwiartkę układu współrzędnych. Zaczynamy od kąta 90°.(zobacz rysunek). Na ostatnim ramieniu kąta skierowanego o mierze 90° zaznaczono punkt M', którego rzędna jest równa y=r, natomiast odcięta x=0, więc:
- funkcja nie jest określona
Tak wyznaczone wartości zostały wpisane w kolumnę tabelki dla kąta 90°.
Teraz wyznaczymy znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce. Na końcowym ramieniu kąta o mierze α zaznaczono punkt M, dla którego określamy x, y, r. Widać, że x<0, y>0, r>0, więc:
Tak wyznaczone znaki wpisujemy do tabelki.
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
Funkcje zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcje, w których wartości argumentu i wartości funkcji należą do zbioru liczb rzeczywistych, niestety funkcje trygonometryczne kąta ostrego oraz funkcje trygonometryczne kąta skierowanego nie spełniają tego warunku, ponieważ argumentami tych funkcji są kąty (ich miary). Inaczej jest w przypadku miary łukowej kąta, która jest liczbą rzeczywistą. Funkcje trygonometryczne miary łukowej kąta są funkcjami zmiennej rzeczywistej. Definicja na przykład sinusa wygląda więc następująco:
Definicja
Sinus liczby x jest to sinus kąta skierowanego, którego miarą łukową jest liczba x.
Podobnie definiujemy pozostałe funkcje trygonometryczne.
Zatem jeżeli mówimy "tangens liczby 5", to w tym przypadku mamy na myśli tangens kąta skierowanego, którego miarą łukową tego kąta jest liczba 5.
Wszystkie własności funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego są zachowane dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta


Zadanie nr 2.
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości
Zadanie nr 3.
Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości

Zadanie nr 4.
Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.Zadanie nr 5 — maturalne.

A.

B.

C.

D.

Zadanie nr 7 — maturalne.
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równaA. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π
Zadanie nr 8 — maturalne.
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zadanie nr 9 — maturalne.
Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:
A.

B. -4/5
C. -1
D. -5/4
Zadanie nr 10 — maturalne.
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek).

Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek
- 27°<α≤30°
- 24°<α≤27°
- 21°<α≤24°
- 18°<α≤21°
Zadanie nr 11 — maturalne.
Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy
A. cosα=5/4
B. cosα=1/5
C. cosα=9/25
D. cosα=3/5
Zadanie nr 12 — maturalne.
Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS
(zobacz rysunek) jest równy
A. √5/2
B. 2√5/5
C. 1/2
D. 1
Inne zagadnienia z tej lekcji
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.
Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych
Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
© medianauka.pl, 2011-03-22, ART-1255
Data aktualizacji artykułu: 2018-02-04