Funkcje trygonometryczne

W tym artykule odpowiadamy na pytanie co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta. Funkcje te definiujemy w różny sposób.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

Określone są pewne związki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, a mianowicie definiujemy następujące funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

sinus

Co to jest sinus?

Definicja

Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ do przeciwprostokątnej.

$\sin{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przeciwprostokatna}=\frac{a}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\sin{\beta}=\frac{b}{c}$ .

cosinus

Definicja

Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przeciwprostokątnej.

$\cos{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przeciwprostokatna}=\frac{b}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\cos{\beta}=\frac{a}{c}$ .

tangens

Definicja

Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ do przyprostokątnej przyległej.

$tg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{a}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $tg{\beta}=\frac{b}{a}$ .
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.

cotangens

Definicja

Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przyprostokątnej przeciwległej.

$ctg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{b}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $ctg{\beta}=\frac{a}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.

secans

Definicja

Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przyległej kąta ostrego $\alpha$ .

$sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{c}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $sec{\beta}=\frac{c}{a}$ .

cosecans

Definicja

Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ .

$cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{c}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $cosec{\beta}=\frac{c}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin{\alpha}$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos{\alpha}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tg{\alpha}$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	-
$ctg{\alpha}$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Tabela z funkcjami trygonometrycznymi jest tak często wykorzystywana w matematyce, że warto jej nauczyć się na pamięć. Najlepiej zrobić to za pomocą darmowej aplikacji, do której link znajduje się poniżej. ostrych.

Zauważamy, że:

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha},\ sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}, \ cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}$

Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

Przykład

Chłopiec stoi w odległości 100 m od latarni, którą widzi pod kątem 30°. Jaka jest wysokość latarni?

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

$tg{30^o}=\frac{h}{100 m}/\cdot 100m\\ h=tg30^o\cdot 100m\\ h=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 100m\\ h\approx 57,7 m$

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

W niniejszym artykule uogólnimy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

Niech dany będzie w układzie współrzędnych dowolny kąt skierowany o mierze α. Na końcowym ramieniu kąta obieramy dowolny punkt M, dla którego określamy odciętą x, rzędną y oraz promień wodzący r (patrz na poniższy rysunek):

Definicja

$\sin{\alpha}=\frac{rzedna}{promien}=\frac{y}{r}\\ \cos{\alpha}=\frac{odcieta}{promien}=\frac{x}{r}\\ tg{\alpha}=\frac{rzedna}{odcieta}=\frac{y}{x}\\ ctg{\alpha}=\frac{odcieta}{rzedna}=\frac{x}{y}\\ \sec{\alpha}=\frac{promien}{odcieta}=\frac{r}{x}\\ cosec{\alpha}=\frac{promien}{rzedna}=\frac{r}{y}$

Zauważmy, że funkcje sinus i cosinus są określone dla każdego kąta (r, które występuje w mianowniku jest zawsze różne od zera). Funkcje tangens i cotangens nie są określone dla wszystkich kątów. Funkcja tangens nie jest określona dla kąta 90°, bo wówczas x=0, a x jest w mianowniku.

Znak funkcji trygonometrycznych

Ponieważ r jest zawsze dodatnie, to:

znak funkcji sinus zależy od znaku rzędnej,
znak funkcji cosinus zależy od znaku odciętej,
znak funkcji tangens i cotangens jest dodatni, gdy rzędna i odcięta są tego samego znaku.

Zapiszemy w tabeli znaki poszczególnych funkcji trygonometrycznych w kolejnych ćwiartkach układu współrzędnych:

	0°	I ćwiartka	90°	II ćwiartka	180°	III ćwiartka	270°	IV ćwiartka	360°
$\sin{\alpha}$	0	+	1	+	0	-	-1	-	0
$\cos{\alpha}$	1	+	0	-	-1	-	0	+	1
$tg{\alpha}$	0	+	x	-	0	+	x	-	0
$ctg{\alpha}$	x	+	0	-	x	+	0	-	x

Rysunek

Objaśnienia do tabelki

Jak wypełnić samemu powyższą tabelkę? Weźmy na przykład kąt 90° i II ćwiartkę układu współrzędnych. Zaczynamy od kąta 90°.(zobacz rysunek). Na ostatnim ramieniu kąta skierowanego o mierze 90° zaznaczono punkt M', którego rzędna jest równa y=r, natomiast odcięta x=0, więc:

$\sin{90^o}=\frac{y}{r}=\frac{r}{r}=1$
$\cos{90^o}=\frac{x}{r}=\frac{0}{r}=0$
$tg{90^o}=\frac{y}{x}=\frac{y}{0}$ - funkcja nie jest określona
$ctg{90^o}=\frac{x}{y}=\frac{0}{y}=0$

Tak wyznaczone wartości zostały wpisane w kolumnę tabelki dla kąta 90°.

Teraz wyznaczymy znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce. Na końcowym ramieniu kąta o mierze α zaznaczono punkt M, dla którego określamy x, y, r. Widać, że x<0, y>0, r>0, więc:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}>0\\\cos{\alpha}=\frac{x}{r}<0\\tg{\alpha}=\frac{y}{x}<0\\ctg{\alpha}=\frac{x}{y}<0$

Tak wyznaczone znaki wpisujemy do tabelki.

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Funkcje zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcje, w których wartości argumentu i wartości funkcji należą do zbioru liczb rzeczywistych, niestety funkcje trygonometryczne kąta ostrego oraz funkcje trygonometryczne kąta skierowanego nie spełniają tego warunku, ponieważ argumentami tych funkcji są kąty (ich miary). Inaczej jest w przypadku miary łukowej kąta, która jest liczbą rzeczywistą. Funkcje trygonometryczne miary łukowej kąta są funkcjami zmiennej rzeczywistej. Definicja na przykład sinusa wygląda więc następująco:

Definicja

Sinus liczby x jest to sinus kąta skierowanego, którego miarą łukową jest liczba x.

Podobnie definiujemy pozostałe funkcje trygonometryczne.

Zatem jeżeli mówimy "tangens liczby 5", to w tym przypadku mamy na myśli tangens kąta skierowanego, którego miarą łukową tego kąta jest liczba 5.

Wszystkie własności funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego są zachowane dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta $\beta$ oraz $\alpha$ przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: $\beta, \frac{\alpha}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $a=\sqrt{2}$ . Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości $d=2\sqrt{3}$ tworzy z podstawą kąt $\alpha=30^o$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Kąt

jest ostry i $tg{\alpha}=\frac{2}{3}$ . Wtedy:

A. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}$
B. $sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}$
C. $sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:
wzór

B. -4/5
C. -1
D. -5/4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek).

Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek

27°<α≤30°
24°<α≤27°
21°<α≤24°
18°<α≤21°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy

A. cosα=5/4

B. cosα=1/5

C. cosα=9/25

D. cosα=3/5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS
(zobacz rysunek) jest równy

Rysunek

A. √5/2

B. 2√5/5

C. 1/2

D. 1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych

Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.