Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

SINUS

Definicja

Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ do przeciwprostokątnej.

$\sin{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przeciwprostokatna}=\frac{a}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\sin{\beta}=\frac{b}{c}$ .

COSINUS

Definicja

Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przeciwprostokątnej.

$\cos{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przeciwprostokatna}=\frac{b}{c}$

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $\cos{\beta}=\frac{a}{c}$ .

TANGENS

Definicja

Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ do przyprostokątnej przyległej.

$tg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przeciwlegla}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{a}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $tg{\beta}=\frac{b}{a}$ .
Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.

COTANGENS

Definicja

Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego $\alpha$ do przyprostokątnej przeciwległej.

$ctg{\alpha}=\frac{przyprostokatna\ przylegla}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{b}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $ctg{\beta}=\frac{a}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.

SECANS

Definicja

Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przyległej kąta ostrego $\alpha$ .

$sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przylegla}=\frac{c}{b}$

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $sec{\beta}=\frac{c}{a}$ .

COSECANS

Definicja

Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu $\alpha$ .

$cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokatna}{przyprostokatna\ przeciwlegla}=\frac{c}{a}$

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta $\beta$ , używając powyższej definicji: $cosec{\beta}=\frac{c}{b}$ .
Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin{\alpha}$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos{\alpha}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tg{\alpha}$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	-
$ctg{\alpha}$	-	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0

Zauważamy, że:

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha},\ sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}, \ cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}$

Wynika to wprost z definicji tych funkcji trygonometrycznych.

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

Przykład