Funkcje trygonometryczne

W tym artykule odpowiadamy na pytanie, co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta. Funkcje te definiujemy w różny sposób.

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Niech dany będzie trójkąt prostokątny, zilustrowany poniższym rysunkiem:

funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie

Określone są pewne związki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, a mianowicie definiujemy następujące funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

Sinus

Co to jest sinus? Oto definicja sinusa kąta ostrego.

Sinus kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \(\alpha\) do przeciwprostokątnej.

\(\sin{\alpha}=\frac{przyprostokątna\ przeciwległa}{przeciwprostokątna}=\frac{a}{c}\)

Zapiszemy teraz funkcję sinus dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(\sin{\beta}=\frac{b}{c}\).

Cosinus

Cosinus kąta ostrego (czytaj: kosinus) jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \(\alpha\) do przeciwprostokątnej.

\(\cos{\alpha}=\frac{przyprostokątna\ przyległa}{przeciwprostokątna}=\frac{b}{c}\)

Zapiszemy teraz funkcję cosinus dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(\cos{\beta}=\frac{a}{c}\).

Tangens

Tangens kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \(\alpha\) do przyprostokątnej przyległej.

\(tg{\alpha}=\frac{przyprostokątna\ przeciwległa}{przyprostokątna\ przyległa}=\frac{a}{b}\)

Zapiszemy teraz funkcję tangens dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(tg{\beta}=\frac{b}{a}\). Czasem dla oznaczenia tangensa używa się skrótów: tan, tang.

Cotangens

Cotangens (czytaj kotangens) kąta ostrego jest to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego \(\alpha\) do przyprostokątnej przeciwległej.

\(ctg{\alpha}=\frac{przyprostokątna\ przyległa}{przyprostokątna\ przeciwległa}=\frac{b}{a}\)

Zapiszemy teraz funkcję cotangens dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(ctg{\beta}=\frac{a}{b}\). Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótów: ctn, cot.

A oto rzadziej używane funkcje trygonometryczne kąta ostrego.

Secans

Secans (czytaj sekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przyległej kąta ostrego \(\alpha\).

\(sec{\alpha}=\frac{przeciwprostokątna}{przyprostokątna\ przyległa}=\frac{c}{b}\)

Zapiszemy teraz funkcję secans dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(sec{\beta}=\frac{c}{a}\).

Cosecans

Cosecans (czytaj kosekans) kąta ostrego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej przeciwległej kątowi ostremu \(\alpha\).

\(cosec{\alpha}=\frac{przeciwprostokątna}{przyprostokątna\ przeciwległa}=\frac{c}{a}\)

Zapiszemy teraz funkcję cosecans dla kąta \(\beta\), używając powyższej definicji: \(cosec{\beta}=\frac{c}{b}\). Czasem dla oznaczenia cotangensa używa się skrótu: csc.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów:

\(\alpha\)	0°	30°	45°	60°	90°
\(\sin{\alpha}\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos{\alpha}\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(tg{\alpha}\)	0	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	1	\(\sqrt{3}\)	-
\(ctg{\alpha}\)	-	\(\sqrt{3}\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	0

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Tabela z funkcjami trygonometrycznymi jest tak często wykorzystywana w matematyce, że warto jej nauczyć się na pamięć. Najlepiej zrobić to za pomocą darmowej aplikacji, do której link znajduje się poniżej.

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi kata ostrego

Zauważamy, że wprost z definicji można określić pewne zależności (czym jest odwrotność cotangensa, odwrotność cosinusa i sinusa):

\(ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}\)

\( sec\alpha=\frac{1}{\cos{\alpha}}\)

\( cosec\alpha=\frac{1}{sin\alpha}\)

Zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Głównym celem definiowania funkcji trygonometrycznych jest rozwiązywanie trójkątów, to znaczy wyznaczanie wszystkich jego boków i kątów. Poniżej prosty przykład zastosowania funkcji trygonometrycznej:

Przykład

Chłopiec stoi w odległości \(100\ m\) od latarni, którą widzi pod kątem 30°. Jaka jest wysokość latarni?

zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego:

\(tg{30^o}=\frac{h}{100\ m}/\cdot 100\ m\)

\(h=tg30^o\cdot 100\ m\)

\(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 100\ m\)

\(h\approx 57,7\ m\)

To jedynie mały wycinek zastosowań funkcji trygonometrycznych. Funkcje te znajdują szerokie zastosowanie w fizyce i technice. Ruch harmoniczny, falowy, kołowy opisuje się z wykorzystaniem właśnie tych funkcji.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

W niniejszym artykule uogólnimy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

Niech dany będzie w układzie współrzędnych dowolny kąt skierowany o mierze \(\alpha\). Na końcowym ramieniu kąta obieramy dowolny punkt \(M\), dla którego określamy odciętą \(x\), rzędną \(y\) oraz promień wodzący \(r\) (patrz na poniższy rysunek):

kąt skierowany w układzie współrzędnych

Definicja

\(\sin{\alpha}=\frac{rzędna}{promień} =\frac{y}{r}\)

\( \cos{\alpha}=\frac{odcięta}{promień} =\frac{x}{r}\)

\( tg{\alpha}=\frac{rzędna}{odcięta} =\frac{y}{x}\)

\( ctg{\alpha}=\frac{odcięta}{rzędna} =\frac{x}{y}\)

\( \sec{\alpha}=\frac{promień}{odcięta} =\frac{r}{x}\)

\( cosec{\alpha}=\frac{promień}{rzędna} =\frac{r}{y}\)

Zauważmy, że funkcje sinus i cosinus są określone dla każdego kąta (\(r\), które występuje w mianowniku, jest zawsze różne od zera). Funkcje tangens i cotangens nie są określone dla wszystkich kątów. Funkcja tangens nie jest określona dla kąta 90°, bo wówczas \(x=0\), a \(x\) jest w mianowniku.

Znak funkcji trygonometrycznych

Ponieważ r jest zawsze dodatnie, to:

znak funkcji sinus zależy od znaku rzędnej,
znak funkcji cosinus zależy od znaku odciętej,
znak funkcji tangens i cotangens jest dodatni, gdy rzędna i odcięta są tego samego znaku.

Zapiszemy w tabeli znaki poszczególnych funkcji trygonometrycznych w kolejnych ćwiartkach układu współrzędnych:

	0°	I ćwiartka	90°	II ćwiartka	180°	III ćwiartka	270°	IV ćwiartka	360°
\(\sin{\alpha}\)	0	+	1	+	0	-	-1	-	0
\(\cos{\alpha}\)	1	+	0	-	-1	-	0	+	1
\(tg{\alpha}\)	0	+	x	-	0	+	x	-	0
\(ctg{\alpha}\)	x	+	0	-	x	+	0	-	x

Rysunek

Objaśnienia do tabelki

Jak wypełnić samemu powyższą tabelkę? Weźmy na przykład kąt 90° i II ćwiartkę układu współrzędnych. Zaczynamy od kąta 90° (zobacz rysunek). Na ostatnim ramieniu kąta skierowanego o mierze 90° zaznaczono punkt \(M'\), którego rzędna jest równa \(y=r\), natomiast odcięta \(x=0\), więc:

\(\sin{90^o}=\frac{y}{r}=\frac{r}{r}=1\)

\(\cos{90^o}=\frac{x}{r}=\frac{0}{r}=0\)

\(tg{90^o}=\frac{y}{x}=\frac{y}{0}\) — funkcja nie jest określona

\(ctg{90^o}=\frac{x}{y}=\frac{0}{y}=0\)

Tak wyznaczone wartości zostały wpisane w kolumnę tabelki dla kąta 90°.

Teraz wyznaczymy znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce. Na końcowym ramieniu kąta o mierze α zaznaczono punkt \(M\), dla którego określamy \(x, y, r\). Widać, że \(x<0, y>0, r>0\), więc:

\(\sin{\alpha}=\frac{y}{r}>0\)

\(\cos{\alpha}=\frac{x}{r}<0\)

\(tg{\alpha}=\frac{y}{x}<0\)

\(ctg{\alpha}=\frac{x}{y}<0\)

Tak wyznaczone znaki wpisujemy do tabelki.

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Funkcje zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcje, w których wartości argumentu i wartości funkcji należą do zbioru liczb rzeczywistych, niestety funkcje trygonometryczne kąta ostrego oraz funkcje trygonometryczne kąta skierowanego nie spełniają tego warunku, ponieważ argumentami tych funkcji są kąty (ich miary). Inaczej jest w przypadku miary łukowej kąta, która jest liczbą rzeczywistą. Funkcje trygonometryczne miary łukowej kąta są funkcjami zmiennej rzeczywistej. Definicja na przykład sinusa wygląda więc następująco:

Definicja

Sinus liczby \(x\) jest to sinus kąta skierowanego, którego miarą łukową jest liczba \(x\).

Podobnie definiujemy pozostałe funkcje trygonometryczne.

Zatem jeżeli mówimy „tangens liczby 5”, to w tym przypadku mamy na myśli tangens kąta skierowanego, którego miarą łukową tego kąta jest liczba 5.

Wszystkie własności funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego są zachowane dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości \(a\), ramionach długości \(b\), kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta \(\beta\) oraz \(\alpha\) przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość \(h\) na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: \(\beta, \frac{\alpha}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości \(a=\sqrt{2}\). Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości \(d=2\sqrt{3}\) tworzy z podstawą kąt \(\alpha=30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć promień \(R\) okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt \(r=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=\frac{2}{3}\). Wtedy:

A. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

B. \(\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}\)

C. \(\sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

D. \(\sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy