Wzory matematyczne

CKE
Wzory matematyczne - matura
CKE matematyczne wzory

Oto wykaz najważniejszych wzorów matematycznych z podziałem na działy.

Obok znajdziesz arkusz z wzorami matematycznymi Centralnej Komisji Egzaminacyjnej CKE przydatne do matury.

Matematyka wzory

Wybrane wzory z matematyki:

Spis treści:

Algebra


Wartość bezwzględna


\(|x| = \begin{cases} x \ dla \ x \geq 0 \\ -x \ dla \ x<0 \end{cases}\)

Dla dowolnych liczb x i y:

\(|x+y|\leq |x|+|y|\)

\(|x-y|\leq |x|+|y| \)

\(|x\cdot y|=|x|\cdot |y| \)

Potęgi


\( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ dla \ a \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace \wedge n \in N \)

Dla a≠0:

\(a^0=1\)

Dla nieujemnej liczby a oraz liczby naturalnej n określamy:

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

Dla nieujemnej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy:

\(a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

Dla dodatniej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy:

\(a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)

Dla dodatnich wartości a i b oraz dowolnych liczb m i n:

\(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)

\(a^m:an = a^{m-n}, \ dla \ a \neq 0 \wedge m>n\)

\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)

\(a^n\cdot b^n = (ab)^n\)

\(a^n:b^n = (a:b)^n, \ dla \ b \neq 0\)

Pierwiastki


Pierwiastek stopnia n z liczby a, b ≥ 0  definiujemy:

\(\sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow b^n\)

\( \sqrt{a^2} = |a|\)

Jeżeli a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N \ {0, 1}, to:

\( (\sqrt[n]{a})^n=a\)

\( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)

\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\)

\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\)

\( (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

Wzory skróconego mnożenia


\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Wzór dwumianowy Newtona:

\((a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \choose n}b^n\)

Logarytmy


Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

\(\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x\)

Dla \(a\in R_+\) \{1} oraz \( b,c \in R_+\) prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:

\(\log_{a}1=0\)

\(\log_{a}a=1\)

\(\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c\)

\(\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c\)

\(\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b\)

\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)

\(a^{\log_{a}b}=b\)

\(\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\)

Silnia


\(0!=1\)
\(1!=1\)
\(n!=1\cdot{2}\cdot{3}...\cdot{n}\quad{dla}\quad{n}\geq{2}\)

\((n_1)!=n!(n+1)\)

Symbol Newtona

Niech \(n \in R, \ k \in N\) . Symbol Newtona, który oznaczamy \({n\choose k}\), a czytamy "n po k" jest to liczba wyrażona wzorem:

\({n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}\)

gdy k jest większe od 0 oraz liczbę 1, gdy k=0.


Trygonometria


Tożsamości trygonometryczne


\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)

\(ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

\(tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}\)

Funkcje sumy i różnicy kątów


\(\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\cos({\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\(tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\(ctg({\alpha+\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}\)

\(\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\cos({\alpha-\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\(tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\(ctg({\alpha-\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}+1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}\)

Funkcje podwójnego i potrójnego kąta


\(\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\)

\(\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\)

\(tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}\)

\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)

\(\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)

Funkcje połówkowego kąta


\(\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\)

\(\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\)

\(tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\)

\(tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\)

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych


\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

Wzory redukcyjne


Dla kąta \(-\alpha\)
\(\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}\)
\(tg{(-\alpha)}=-tg{\alpha}\)
\(ctg{(-\alpha)}=-ctg{\alpha}\)

Dla kąta 180°-αDla kąta 180°+α
\(\sin{(180^o-\alpha)}=\sin{\alpha}\)\(\sin{(180^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos{\alpha}\)\(\cos{(180^o+\alpha)}=-\cos{\alpha}\)
\(tg{(180^o-\alpha)}=-tg{\alpha}\)\(tg{(180^o+\alpha)}=tg{\alpha}\)
\(ctg{(180^o-\alpha)}=-ctg{\alpha}\)\(ctg{(180^o+\alpha)}=ctg{\alpha}\)

Dla kąta 90°-αDla kąta 90°+α
\(\sin{(90^o-\alpha)}=\cos{\alpha}\) \(\sin{(90^o+\alpha)}=\cos{\alpha}\)
\(\cos{(90^o-\alpha)}=\sin{\alpha}\) \(\cos{(90^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(tg{(90^o-\alpha)}=ctg{\alpha}\) \(tg{(90^o+\alpha)}=-ctg{\alpha}\)
\(ctg{(90^o-\alpha)}=tg{\alpha}\) \(ctg{(90^o+\alpha)}=-tg{\alpha}\)

Dla dowolnej liczby całkowitej k
\(\sin{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\sin{\alpha}\)
\(\cos{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\cos{\alpha}\)
\(tg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=tg{\alpha}\)
\(ctg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=ctg{\alpha}\)

Dla kąta 45°-α oraz 45°+α
\(\sin{(45^o+\alpha)}=\cos{(45^o-\alpha)}\)
\(\cos{(45^o+\alpha)}=\sin{(45^o-\alpha)}\)
\(tg{(45^o+\alpha)}=ctg{(45^o-\alpha)}\)
\(ctg{(45^o+\alpha)}=tg{(45^o-\alpha)}\)


Elementy statystyki i rachunku prawdopodobieństwa


Kombinatoryka


\(0!=1\)
\(1!=1\)
\(n!=1\cdot{2}\cdot{3}...\cdot{n}\quad{dla}\quad{n}\geq{2}\)

\((n_1)!=n!(n+1)\)

Symbol Newtona

Niech \(n \in R, \ k \in N\) . Symbol Newtona, który oznaczamy \({n\choose k}\), a czytamy "n po k" jest to liczba wyrażona wzorem:

\({n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}\)

gdy k jest większe od 0 oraz liczbę 1, gdy k=0.

Niech:
p - oznacza permutację, kombinację lub wariację,
n - liczba elementów pewnego zbioru,
k - liczba elementów ciągu lub podzbioru dla tworzonych p.

nazwa p Liczba p Rodzaj Czy kolejność wyrazów ma znaczenie? Czy mogą występować powtórzenia tego samego elementu zbioru?
permutacje \(P_n=n!\) tworzymy ciągi n-elementowe tak nie
kombinacje \(C^{k}_{n}={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) tworzymy podzbiory k-elementowe nie nie
wariacje bez powtórzeń \(V^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}\) tworzymy ciągi k-elementowe o różnych wyrazach tak nie
wariacje z powtórzeniami \(W^{k}_{n}=n^k\) tworzymy ciągi k-elementowe tak tak

Rachunek prawdopodobieństwa


\(P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}\)

Prawdopodobieństwa warunkowe: \(P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Schemat Bernouliego:

\(P(S_n=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}\)

\(p+q=1\)

  • p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
  • q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie.

Statystyka


Średnia arytmetyczna: \(\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)

Średnia ważona: \(\overline{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n}{w_1+w_2+...+w_n}\)

Mediana:

\(M=\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}}\ - \ dla\ n \ nieparzystego \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\ - \ dla \ n \ parzystego \end{cases}\)


Analiza matematyczna


Ciągi


Ciąg arytmetyczny

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli spełniony jest warunek:

\(a_{n+1}-a_n=r\)

Wzór na n-ty wyraz ciągu: \(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\(S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}\)

Ciąg geometryczny

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba \(q\neq 0\) i  spełniony jest warunek:

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\)

Suma wyrazów ciągu geometrycznego:

\(S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1\)

\(S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1\)

Granice ciągów


Niech \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) oraz \(\lim_{n\to\infty} b_n=b\). Prawdziwe są następujące równości:

\(\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b\)

\(\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=a-b\)

\(\lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b\)

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b},b_n\neq 0,b\neq 0\)

CiągGranica
\(a_n=\frac{1}{n}\)\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\)
\(a_n=\frac{k}{n}, \quad k\in R\)\(\lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}=0\)
Ciąg geometryczny:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \quad q< 0\)
\(\lim_{n\to\infty} a_1\cdot q^{n-1}=0\)
\(a_n=n^k, \quad k\in N_+\)\(\lim_{n\to\infty} n^k=\infty\)
\(a_n=k^n, \quad k\in N_+\)\(\lim_{n\to\infty} k^n=\infty\)
Ciąg stały:
\(a_n=k, \quad k\in R\)
\(\lim_{n\to\infty} k=k\)


Suma szeregu geometrycznego:

\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

Granice funkcji


\(\lim_{x\to a}{c}=c\)

\(\lim_{x\to a}{x}=a\)

\(\lim_{x\to a}{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[n]{a}, \ a> 0, \ n\in N\)

\(\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}\)

\(\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1\)

\(\lim_{x\to x_0}{[f(x)+g(x)]=a+b}\)

\(\lim_{x\to x_0}{[f(x)-g(x)]=a-b}\)

\(\lim_{x\to x_0}{[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b}\)

\(\lim_{x\to x_0}{[f(x):g(x)]=a:b (b\neq 0)}\)

\(\lim_{x\to x_0}{c\cdot f(x)}=c\cdot \lim_{x\to x_0}{f(x)}\)

Pochodne


\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\)

Funkcja Pochodna Uwagi
c0\(x\in R\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)

\(x\in R, \ gdy \ n\in N\)

\( x\in R_+, \ gdy \ n\in W\)

\(\sqrt{x}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)\(x\in R_+\)
\(\frac{1}{x}\)\(-\frac{1}{x^2}\)\(x\neq 0\)
\(\sin{x}\)\(\cos{x}\)\(x\in R\)
\(\cos{x}\)\(-\sin{x}\)\(x\in R\)
\(tg{x}\)\(\frac{1}{\cos^2{x}}\)\(\cos{x}\neq 0\)
\(ctg{x}\)\(-\frac{1}{\sin^2{x}}\)\(\sin{x}\neq 0\)
\(a^x\)\(a^x\cdot \ln{a}\)\(a\in R_+\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(\ln{x}\)\(\frac{1}{x}\) \(x>0\)
\(\log_{a}{x}\)\(\frac{1}{x\ln{a}}\) \(x>0, \ a>0, \ a\neq 1\)
\(\arcsin{x}\)\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(|x|<1\)
\(\arccos{x}\)\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(|x|<1\)
\(arctg{x}\)\(\frac{1}{1+x^2}\)
\(arcctg{x}\)\(\frac{-1}{1+x^2}\)

Nazwa WZÓR
pochodna sumy \([f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)
pochodna różnicy \([f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)\)
pochodna iloczynu \([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
pochodna ilorazu \([\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
mnożenie przez stałą \([c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)\)

 

Pochodna funkcji złożonej: \(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

Równanie stycznej do krzywej: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

Całki


\(\int f(x)dx=F(x)+C\)

\(\int{dx}=x+C\)

\(\int{kdx}=kx+C\)

\(\int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad{}a\neq-1,\quad{}x>0\)

\(\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+C,\quad{}x\neq{0}\)

\(\int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln{a}}+C,\quad{}a>0,\quad{}a\neq{1}\)

\(\int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+C\)

\(\int{\cos{x}dx=\sin{x}+C}\)

\(\int{\frac{1}{\cos^{2}{x}}dx}=tgx+C,\quad{}\cos{x}\neq{0}\)

\(\int{\frac{1}{\sin^{2}{x}}dx}=-ctgx+C,\quad{}\sin{x}\neq{0}\)

\(\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=arcsinx+C,\quad{}-1<x<1\)

\(\int{\frac{1}{x^2+1}dx}=arctg+C\)

\(\int{[f(x)+g(x)]dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}\)

\(\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}\)

Całkowanie przez części: \(\int{udv}=uv-\int{vdu}\)


Geometria


Wektory


Długośc wektora

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Iloczyn skalarny

\(\vec{a}\circ \vec{b}=ab \cdot \cos{(\vec{a},\vec{b})}\)

\(\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y\)

Iloczyn wektorowy

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \angle(\vec{a},\vec{b})\)

Odcinek


Długość odcinka: \(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Środek odcinka: \(x_s=\frac{x_A+x_B}{2},\quad{}y_s=\frac{y_A+y_B}{2}\)

Trójkąty


Wysokośc w trójkącie równobocznym: \(d=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Pole tójkąta: \(P=\frac{1}{2}ah\)

lub \(P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}\), gdzie γ jest katem między bokami a i b.

lub (wzór Herona): \(P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}\)

lub

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)

\(P=\frac{1}{2}|W|\)

lub

\(P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}\)

gdzie: \(P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3)\) są wierzchołkami trójkata.

Pole trójkąta równobocznego: \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Obwód trójkąta: \(L=a+b+c\)

Twierdzenie Pitagorasa


\(a^2+b^2=c^2\)

trójkąt prostokątny

Twierdzenie sinusów i cosinusów


Twierdzenie sinusów:

\(\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R\)

twierdzenie sinusów, cosinusów, tangensów

Twierdzenie cosinusów:

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\beta}\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\)

Twierdzenie tangensów:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}, \ \ \ \frac{b-c}{b+c}=\frac{tg\frac{\beta-\gamma}{2}}{tg\frac{\beta+\gamma}{2}}, \ \ \ \frac{a-c}{a+c}=\frac{tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{tg\frac{\alpha+\gamma}{2}}\)

Czworokąty


Prostokąt

prostokąt

Przekątna prostokąta: \(d=\sqrt{a^2+b^2}\)

Pole prostokąta: \(P=ab\)

lub \(P=\frac{1}{2}d^2\sin{\gamma}\), gdzie kąt γ jest kątem między przekątnymi.

Obwód prostokąta: \(L=2a+2b\)

Kwadrat

kwadrat

Przekątna kwadratu: \(d=a\sqrt{2}\)

Promień okręgu wpisanego w kwadrat \(r=\frac{a}{2}\)

Promień okręgu opisanego na kwadracie \(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Pole kwadratu: \(P=a^2\)

lub \(P=\frac{1}{2}d^2\)

Obwód kwadratu: \(L=4a\)

Trapez

trapez

Pole trapezu: \(P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h\)

Obwód trapezu: \(L=a+b+c+d\)

Równoległobok

równoległobok

Pole równoległoboku: \(P=ah_1=bh_2\)

pole równoległoboku

Pole równoległoboku: \(P=\frac{1}{2}d_1d_2\cdot \sin{\gamma}\)

równoległobok

Pole równoległoboku: \(P=ab\cdot \sin{\alpha}\)

pole równoległoboku - wektory

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)

\(P=|W|\)

Obwód równoległoboku: \(L=2a+2b\)

Romb

romb

\(P=ah\)

\(L=4a\)

Deltoid

deltoid

\(P=\frac{1}{2}d_1d_2\)

\(L=2a+2b\)

Okrąg, koło, elipsa


Równanie okręgu: (\(x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

Pole koła: \(P=\pi r^2\)

Długość okręgu: \(2\pi r\)

Równanie elipsy: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Mimośród elpisy: \(\varepsilon=\frac{c}{a}\)

Pole elipsy: \(P=\pi ab\)

Długość elipsy: \(L=4aE(\varepsilon)=2\pi a[1-(\frac{1}{2})^2\varepsilon ^2-(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^4}{3}-(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^6}{5}-...]\)
lub w przybliżeniu: \(L=\pi[\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}]\)

Promień okręgu wpisanego w trójkąt: \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)

Promień okręgu opisanego na trójkącie: \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

Długość łuku okręgu: \(d=\frac{\alpha}{360}\cdot 2\pi r\)

Pole wycinka kołowego: \(P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2\)

Wielokąty foremne


Liczna n
boków wielokąta
Pole powierzchni wielokąta
3\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
4\(a^2\)
5\(\frac{a^2\sqrt{5}}{4}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)
6\(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)
8\(2a^2(1+\sqrt{2})\)
10\(\frac{5a^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)

Liczna n
boków wielokąta
Promień R okręgu
opisanego na wielokącie
Promień r okręgu
wpisanego w wielokąt
3\(\frac{a}{\sqrt{3}}\)\(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
4\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)\(\frac{a}{2}\)
5\(a^2\)\(\frac{a}{2\sqrt{5}}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)
6\(a\)\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
8\(\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)\(\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})\)
10\(2a^2(1+\sqrt{2})\)\(\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)

Liczba bokówMiara kąta wewnętrznego
360°
490°
5108°
6120°
7128,(571428)°
8135°
9140°
10144°
11147,(27)°
12150°

Bryły


Bryła Rysunek Wzory na objętość pole powierzchni oraz promienie kuli wpisanej r i opisanej R na bryle.
sześcian sześcian

\(V=a^3\)

\(P=6a^2\)

\(R=\frac{1}{2}a\sqrt{3}\)

\(r=\frac{1}{2}a\)

prostopadłościan prostopadłościan

\(V=abc\)

\(P=2ab+2ac+2bc\)

dowolny graniastosłup
prosty i pochyły
objętość graniastosłupa

\(V=P_p\cdot h\)

\(P=2P_p+P_b\)

czworościan foremny objętość czworościanu foremnego

\(V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)

\(P=\sqrt{3}a^2\)

\(R=\frac{1}{4}a\sqrt{6}\)

\(r=\frac{1}{12}a\sqrt{6}\)

dowolny ostrosłup
prosty lub pochyły
objętość ostrosłupa

\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h\)

\(P=P_p+P_b\)

piramida objętość piramidy \(V=\frac{a^2h}{3}\)
ostrosłup ścięty objętość ostrosłupa ściętego \(V=\frac{1}{3}h(B+\sqrt{Bb}+b)\)
ośmiościan foremny objętość osmiościanu foremnego \(V=\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
dwunastościan foremny objętość dwunastościanu foremnego \(V=\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
dwudziestościan foremny objętość dwudziestościanu foremnego \(V=\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})\)
walec objętość walca

\(V=\pi r^2h\)

\(P=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\)

stożek objętość stożka

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)

\(P=P_p+P_b=\pi r^2+\pi rl, \ l=\sqrt{r^2+h^2}\)

kula objętość kuli

\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

\(S=4\pi R^2\)

 

Wielościan foremny Promień kuli opisanej Promień kuli wpisanej Objętość wielościanu
czworościan \(\frac{1}{4}a\sqrt{6}\) \(\frac{1}{12}a\sqrt{6}\) \(\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}\)
sześcian \(\frac{1}{2}a\sqrt{3}\) \(\frac{1}{2}a\) \(a^3\)
ośmiościan \(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\) \(\frac{1}{6}a\sqrt{6}\) \(\frac{1}{3}a^3\sqrt{2}\)
dwunastościan \(\frac{1}{4}a\sqrt{18+6\sqrt{5}}\) \(\frac{1}{4}a\sqrt{2}\sqrt{5+\frac{11}{5}\sqrt{5}}\) \(\frac{1}{4}a^3(15+7\sqrt{5})\)
dwudziestościan \(\frac{1}{4}a\sqrt{10+2\sqrt{5}}\) \(\frac{1}{12}a\sqrt{3}\sqrt{3+\sqrt{5}}\) \(\frac{5}{12}a^3(3+\sqrt{5})\)


Funkcje


Funkcja kwadratowa


Zagadnienie Wzór
Postać ogólna funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\)
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Postać iloczynowa:
\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Pierwiastki funkcji kwadratowej
(miejsca zerowe funkcji kwadratowej):
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(\Delta=b^2-4ac\)

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, gdy \(\Delta=0\):
\(x_0=-\frac{b}{2a}\)
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego Postać kanoniczna:
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}\)

Wektor przesunięcia:
\(\vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]\)

Współrzędne wierzchołka paraboli:
\(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)
Wzory Viete'a

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\)







© medianauka.pl, 2022-01-02, ART-4305



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.