Analiza matematyczna

Analiza matematyczna jest to dziedzina matematyki, która powstała na bazie rachunku różniczkowego i całkowego, zajmująca się oprócz wcześniej wymienionych rachunków badaniem granic ciągów i funkcji, szeregów. Powstała w XVII w. Stworzyli ją niezależnie od siebie Isaac Newton oraz Gottfried Wilhelm Leibniz. Do tego działu zaliczamy także analizę funkcjonalną, równania różniczkowe oraz całkowe, a także rachunek wariacyjny. Analiza matematyczna to język, jakim się posługują inne dziedziny matematyki, chociażby fizyka.

Ciągi liczbowe, granica ciągu

Ciąg liczbowy to pojęcie w matematyce oznaczające pewną funkcję, która odwzorowuje (w zależności czy definiujemy ciąg skończony, czy nieskończony) pewien zbiór liczb w niepusty zbiór liczb. Badamy tu różne rodzaje ciągów, w tym arytmetyczny i geometryczny oraz badamy ich właściwości. Definiujemy także w tym miejscu pojęcie granicy ciągu i badamy jej cechy.

Ciąg liczbowy
Podstawowe informacje o ciągach.

Wykres ciągu
Jak sporządzić wykres ciągu liczbowego?

Monotoniczność ciągu
Co to jest ciąg rosnący, malejący i stały? W jaki sposób badamy monotoniczność?

Ciąg arytmetyczny
Co to jest ciąg arytmetyczny? Własności ciagu arytmetycznego.

Ciąg geometryczny
Co to jest ciąg geometryczny?

Otoczenie punktu
Co to jest otoczenie punktu?

Granica ciągu
Co to jest granica ciągu? Pojęcie granicy niewłaściwej.

Obliczanie granic ciągów
Wzory na obliczanie granic ciągów.

Szereg geometryczny
Co to jest szereg geometryczny?

Suma szeregu geometrycznego
Jak obliczyć sumę szeregu geometrycznego?

TESTY I ZADANIA
punktor

Test - ciąg liczbowy
punktor

Test - ciąg arytmetyczny
punktor

Test - ciąg geometryczny
punktor

Test - granica ciągu
punktor

Test - szereg geometryczny
punktor

Zadania z ciągów liczbowych

SPIS TREŚCI

Granica i ciągłość funkcji

Granica funkcji to jedno z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej, stanowiących podstawę, między innymi dla pojęcia pochodnej funkcji. Dzięki wprowadzeniu pojęcia granicy funkcji można też badać ciągłość funkcji w punkcie, a także w całej jej dziedzinie.

Sąsiedztwo punktu
Co to jest sąsiedztwo punktu?

Granica funkcji
Definicja Heinego i Cauchy'ego.

Granica niewłaściwa funkcji
Jeżeli granicą funkcji jest nieskończoność ...

Granica funkcji w nieskończoności
Jeżeli x dąży do nieskończoności ...

Granica lewostronna i prawostronna funkcji
Co to jest granica lewo i prawostronna?

Ciągłość funkcji
Warunki ciągłości funkcji oraz ciągłość funkcji elementarnych.

TESTY I ZADANIA
punktor

Test - granica funkcji
punktor

Test - ciągłość funkcji
punktor

Zadania z granic funkcji

SPIS TREŚCI

Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy to dziedzina analizy matematycznej, która powstała w XVII w. Jej podstawy niezależnie od siebie określili sam Isaac Newton oraz Gottfried Wilhelm Leibniz. Podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego jest pochodna funkcji. Rachunek różniczkowy ma niezwykle praktyczne zastosowania w naukach przyrodniczych (szczególnie w fizyce), a także w naukach technicznych.

Pochodna funkcji
Definicja ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji w punkcie.

Obliczanie pochodnych
Pochodna-podstawowe wzory.

Pochodna funkcji złożonej
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
Jak obliczyć pochodna N-tego rzędu?

Równanie stycznej do krzywej
Wyznaczanie równania stycznej do krzywej w punkcie.

Pochodna a monotoniczność funkcji
Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością.

Pochodna a ekstremum funkcji
Jak wykorzystać rachunek pochodnych do wyznaczania ekstremum funkcji?

Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale

Największa i najmniejsza wartość funkcji
Wartością największą lub najmniejszą w danym zbiorze nazywamy ekstremum globalnym.

Pochodna w zadaniach z treścią
Praktyczne wykorzystanie rachunku pochodnych.

Asymptoty wykresu funkcji
Równanie asymptoty pionowej, poziomej i ukośnej.

Szkicowanie wykresów funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Pochodne cząstkowe
Definicja i obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych.

TESTY I ZADANIA
punktor

Test - pochodna funkcji
punktor

Test - zastosowanie pochodnej funkcji
punktor

Zadania z pochodnych

SPIS TREŚCI

Rachunek całkowy

Rachunek całkowy to dziedzina analizy matematycznej, ściśle związany z rachunkiem różniczkowym. Podstawowym pojęciem tego działu jest całka. Rachunek całkowy zawdzięcza swój dzisiejszy kształt takim słynnym matematykom jak: Cauchy, Riemann, Lebesgue, a podwaliny stworzyli Newton i Leibniz. Rachunek całkowy stanowi język nauk przyrodniczych i technicznych.