Zadania z matematyki

Zadanie nr 1.

Obiekt w układzie odniesienia w punkcie o współrzędnych \(A=(1,2)\) miał prędkość wektorową \(v=[3,4]\) wyrażoną w metrach na sekundę. Po jednej sekundzie prędkość ta była już opisana przez wektor o współrzędnych \([3,5]\). Oblicz wartość przyspieszenia średniego w tym czasie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Samochód stoi na linii startu. W jakim czasie samochód powinien osiągnąć prędkość 100 km/h, aby kierowca doznał przyspieszenia równemu \(g\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

W ciągu 3 s na prostej samochód zwolnił z prędkości 100 km/h do 40 km/h. Oblicz przyspieszenie i wyraź je w jednostkach układu SI.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W ciągu 5 s na prostej samochód przyspieszył z 10 km/h do 120 km/h. Oblicz przyspieszenie i wyraź je w jednostkach układu SI.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Jak daleko zajedzie samochód w ciągu 30 minut, jeżeli kierowca będzie jechać ze średnią prędkością 120 km/h?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Jak długo potrwa podróż z Opola do Warszawy, jeżeli długość trasy to 312 km, a kierowca planuje jechać ze średnią prędkością 80 km/h?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Gdy stoper wskazywał 25 sekund, chłopiec znajdował się 40 m od mety. Gdy ten sam stoper chwilę później wskazywał 30 s, chłopak znajdował się 10 metrów dalej. Oblicz prędkość ruchu chłopca.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Pojazd przebył 200 m w 5 sekund. Jaką szybkość wskazywał przez cały czas jazdy prędkościomierz. Pojazd jechał ze stałą prędkością.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Ciało wykonało ruch po okręgu o promieniu 3 m z pewnego punktu do tego samego punktu. Określ i oblicz tor ruchu, drogę i przemieszczenie ciała w tym ruchu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Ciało wykonało ruch po półokręgu o promieniu 3,5 m z punktu A do punktu B. Określ i oblicz tor ruchu, drogę i przemieszczenie ciała w tym ruchu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Jaką średnicę będzie miała kula ze styropianu, która ma masę 10 kg? Gęstość styropianu jest równa 20 \(\frac{kg}{m^3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Jaką masę ma stalowa kulka o średnicy 4 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Sześcienna kostka o boku 2 cm ma masę 56 g. Jaka jest gęstość substancji, z której została wykonana? Wynik wyraź w \(\frac{kg}{m^3}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie

\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 — maturalne.

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 — maturalne.

Rozwiąż nierówność:

\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)

Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 — maturalne.

Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=4\) i \(|CD=5|\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem \(AB\) – kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\) . Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20 — maturalne.

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości 6. Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.