Zadanie maturalne nr 3, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania
Aby znaleźć \(x_0\) wystarczy podstawić wspózędne punktu \(P\) do równania funkcji:
\(3=\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}\)
\(\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}-3=0\)
\(\frac{3x_0^2-2x_0}{x_0^2+2x_0+8}-\frac{3(3x_0^2-2x_0)}{x_0^2+2x_0+8}=0\)
\(\frac{-8x_0-24}{x_0^2+2x_0+8}=0\)
\(-8x_0-24=0\)
\(-8x_0=24/:(-8)\)
\(x_0=-3\)
\(P=(-3,3)\)
Aby znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f\) w punkcie \(P\) skorzystamy z własności pochodnej funkcji. Równanie stycznej ma postać:
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Obliczamy zatem pochodną i jej wartośc w punkcie \(x_0=-3\).
\(f'(x)=\frac{(6x-2)(x^2+2x+8)-(3x^2-2x)(2x+2)}{(x^2+2x+8)^2}=\)
\(=\frac{6x^3+12x^2+48-2x^2-4x-16-(6x^3+6x^2-4x^2-4x)}{(x^2+2x+8)^2}=\)
\(=\frac{8x^2+48x-16}{(x^2+2x+8)^2}\)
\(f'(-3)=\frac{8\cdot 9-48\cdot 3-16}{(9-6+8)^2}=-\frac{8}{11}\)
Podstawiamy dane do wzoru na styczną:
\(y-3=-\frac{8}{11}(x+3)\)
\(y=-\frac{8}{11}x-\frac{24}{11}+\frac{33}{11}\)
\(y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4939
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).