Równanie stycznej do krzywej
Styczna do krzywej \(y=f(x)\) w punkcie \(A(x_0,f(x_0))\) określona jest równaniem:
Przykład
Wyznaczymy równanie stycznej do krzywej \(f(x)=2x^2-x+1\) w punkcie \(A(1,2)\).
Mamy więc:
\(A(1,2)\)
\(x_0=1\)
\(y_0=2\)
Obliczamy pochodną funkcji:
\(f(x)=2x^2-x+1\)
\(f'(x)=4x-1\)
\(f'(x_0)=f'(1)=4\cdot{}1-1=3\)
Podstawiamy dane do przytoczonego na początku artykułu wzoru:
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
\(y-2=3(x-1)\)
\(y=3x-3+2\)
\(y=3x-1\)
Ilustracja pokazuje wykres funkcji oraz stycznej do tego wykresu w punkcie \(A\).
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.
Powiązane materiały
Pochodna funkcji
Pochodna a monotoniczność funkcji
Pochodna funkcji a ekstremum
Największa i najmniejsza wartość funkcji
Pochodna w zadaniach z treścią
Test z zastosowania pochodnych
Asymptoty wykresu funkcji
Przebieg zmienności funkcji© medianauka.pl, 2010-09-19, A-922
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-17