Równanie stycznej do krzywej

Styczna do krzywej \(y=f(x)\) w punkcie \(A(x_0,f(x_0))\) określona jest równaniem:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

Przykład

Wyznaczymy równanie stycznej do krzywej \(f(x)=2x^2-x+1\) w punkcie \(A(1,2)\).

Mamy więc:

\(A(1,2)\)

\(x_0=1\)

\(y_0=2\)

równanie stycznej do krzywej

Obliczamy pochodną funkcji:

\(f(x)=2x^2-x+1\)

\(f'(x)=4x-1\)

\(f'(x_0)=f'(1)=4\cdot{}1-1=3\)

Podstawiamy dane do przytoczonego na początku artykułu wzoru:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

\(y-2=3(x-1)\)

\(y=3x-3+2\)

\(y=3x-1\)

Ilustracja pokazuje wykres funkcji oraz stycznej do tego wykresu w punkcie \(A\).



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-09-19, A-922
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-17



©® Media Nauka 2008-2023 r.