Tablice matematyczne

W tym miejscu zgromadziliśmy odnośniki to tablic matematycznych zawartych w treści poszczególnych artykułów i lekcji. Są to zestawienia przydatnych danych oraz oznaczeń stosowanych w matematyce.

Spis treści

Poniżej prezentujemy wykaz wszystkich opublikowanych tablic tematycznych z podziałem na poszczególne działy:

Liczby i działania
Analiza matematyczna
Geometria
Trygonometria
Kombinatoryka

Wybrane materiały podręczne - na skróty

Interaktywna karta wzorów i interaktywne tablice matematyczne

Tutaj znajduje się indeks pojęć, dla których można znaleźć w serwisie wzory oraz tablice.

Wybierz literę alfabetu:

ciąg arytmetyczny
ciąg geometryczny

działania

geometria

kombinatoryka

liczby
logarytm

pierwiastkowanie
potęgowanie

rachunek prawdopodobieństwa
rozkład liczby na czynniki pierwsze

silnia
symbol Newtona
szereg geometryczny

trygonometria

wartość bezwzględna
współczynnik dwumianowy
wyłączanie przed pierwiastek
wzory skróconego mnożenia
wzór dwumianowy Newtona

Symbole i oznaczenia w matematyce

Wykaz oznaczeń i symboli stosowanych w matematyce wraz z linkami do artykułów.

Tablice matematyczne CKE

Odnośnik do strony Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (CKE) z kartą wzorów i tablic - Wybrane wzory matematyczne. Dokument jest w formacie PDF.

Wzory

Wykaz wzorów matematycznych z podziałem na działy matematyki.

Liczby i działania

Wartość bezwzględna liczby

Definicja	Własności	Więcej
$\|x\| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}$	\|a\|≥0, \|a\|=0 ⇔a=0; \|a\|=\|-a\|; \|a·b\|=\|a\|·\|b\|; Jeżeli b≠0, to \|a/b\|=\|a\|/\|b\|; a≤\|a\|; \|a+b\|≤\|a\|+\|b\|; \|\|a\|-\|b\|\|≤\|a-b\|.	Przejdź do artykułu Wartość bezwzględna.

Silnia

Definicja	Własności	Więcej
Silnia, oznaczana symbolem wykrzyknika. $0!=1\\1!=1\\n!=1\cdot{2}\cdot{3}...\cdot{n}\quad{dla}\quad{n}\geq{2}$	(n+1)!=n!(n+1)	Przejdź do artykułu silnia.

Tablica silni

Poniżej wyniki silni dla pierwszych 50 liczb naturalnych.

0!	= 1
1!	= 1
2!	= 2
3!	= 6
4!	= 24
5!	= 120
6!	= 720
7!	= 5040
8!	= 40320
9!	= 362880
10!	= 3628800
11!	= 39916800
12!	= 479001600
13!	= 6227020800
14!	= 87178291200
15!	= 1307674368000
16!	= 20922789888000
17!	= 355687428096000
18!	= 6402373705728000
19!	= 121645100408832000
20!	= 2432902008176640000
21!	= 51090942171709440000
22!	= 1124000727777607680000
23!	= 25852016738884976640000
24!	= 620448401733239439360000
25!	= 15511210043330985984000000
26!	= 403291461126605635584000000
27!	= 10888869450418352160768000000
28!	= 304888344611713860501504000000
29!	= 8841761993739701954543616000000
30!	= 265252859812191058636308480000000
31!	= 8222838654177922817725562880000000
32!	= 263130836933693530167218012160000000
33!	= 8683317618811886495518194401280000000
34!	= 295232799039604140847618609643520000000
35!	= 10333147966386144929666651337523200000000
36!	= 371993326789901217467999448150835200000000
37!	= 13763753091226345046315979581580902400000000
38!	= 523022617466601111760007224100074291200000000
39!	= 20397882081197443358640281739902897356800000000
40!	= 815915283247897734345611269596115894272000000000
41!	= 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42!	= 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43!	= 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44!	= 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45!	= 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46!	= 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47!	= 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48!	= 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49!	= 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50!	= 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Symbol Newtona, współczynnik dwumianowy

Definicja	Własności	Więcej
Niech $n\in{R},k\in{N}$ . Symbol Newtona, który oznaczamy ${n\choose k}$ , a czytamy "n po k" jest to liczba wyrażona wzorem: ${n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}$ lub ${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$	${n\choose 0}=1$ ${n\choose n}=1$ ${n\choose k}={n\choose n-k}$ ${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$	Przejdź do artykułu symbol Newtona.

Definicja

Własności

Więcej

Niech $n\in{R},k\in{N}$ .
Symbol Newtona, który oznaczamy ${n\choose k}$ , a czytamy "n po k" jest to liczba wyrażona wzorem:

${n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}$

lub

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

${n\choose 0}=1$
${n\choose n}=1$
${n\choose k}={n\choose n-k}$
${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$

Przejdź do artykułu symbol Newtona.

Wzór dwumianowy Newtona

Definicja	Własności	Więcej
$(a+b)^n={n \\choose 0}a^n+{n \\choose 1}a^{n-1}b+{n \\choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \\choose n}b^n$	Brak	Przejdź do artykułu Wzór dwumianowy Newtona.

Wzory skróconego mnożenia

Definicja	Własności	Więcej
Wzór na kwadrat sumy Wzór na kwadrat różnicy Różnica kwadratów Wzór na sześcian sumy Wzór na sześcian różnicy Różnica sześcianów Suma sześcianów	Brak	Przejdź do artykułu Wzory skróconego mnożenia.

Potęgowanie

Definicja	Własności	Więcej
Potęga o wykładniku wymiernym: Dla a - liczby nieujemnej, m,n - liczb naturalnych $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$	a⁰=1 a^-m=1/a^m 1) a^m∙aⁿ = a^m+n 2) a^m:aⁿ = a^m-n, dla a ≠ 0 i m>n 3) (a^m)ⁿ = a^m∙n 4) aⁿ∙bⁿ = (ab)ⁿ 5) aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ, dla b ≠ 0	Przejdź do artykułów: Potęgowanie Działania na potęgach Potęga o wykładniku wymiernym Potęga o wykładniku niewymiernym

Definicja

Własności

Więcej

Potęga o wykładniku wymiernym:

Dla a - liczby nieujemnej, m,n - liczb naturalnych

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

a⁰=1
a^-m=1/a^m

1) a^m∙aⁿ = a^m+n
2) a^m:aⁿ = a^m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a^m)ⁿ = a^m∙n
4) aⁿ∙bⁿ = (ab)ⁿ
5) aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ, dla b ≠ 0

Przejdź do artykułów:

Tablica- kolejne potęgi liczby 2, 3, 4 i 5

n	2ⁿ	3ⁿ	4ⁿ	5ⁿ
0	1	1	1	1
1	2	3	4	5
2	4	9	16	25
3	8	27	64	125
4	16	81	256	625
5	32	243	1024	3125
6	64	729	4096	15625
7	128	2187	16384	78125
8	256	6561	65536	390625
9	512	19683	262144	1953125
10	1024	59049	1048576	9765625
11	2048	177147	4194304	48828125
12	4096	531441	16777216	244140625
13	8192	1594323	67108864	1220703125
14	16384	4782969	268435456	6103515625
15	32768	14348907	1073741824	30517578125
16	65536	43046721	4294967296	152587890625
17	131072	129140163	17179869184	762939453125
18	262144	387420489	68719476736	3814697265625
19	524288	1162261467	274877906944	19073486328125
20	1048576	3486784401	1099511627776	95367431640625

Pierwiastkowanie

Definicja	Własności	Więcej
Pierwiastek stopnia n z liczby a ≥ 0 oznaczamy symbolem $\sqrt[n]{a}$ i definiujemy w następujący sposób:	$1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ Wyłączanie przed pierwiastek: $\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0$	Przejdź do artykułów: Pierwiastek arytmetyczny Działania na pierwiastkach Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Definicja

Własności

Więcej

Pierwiastek stopnia n z liczby a ≥ 0 oznaczamy symbolem $\sqrt[n]{a}$ i definiujemy w następujący sposób:

$1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Wyłączanie przed pierwiastek:

$\sqrt[n]{a^n\cdot b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot \sqrt[n]{b}=a\sqrt[n]{b},\ a\geq0,\ b\geq 0$

Przejdź do artykułów:

Tablica - wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Poniższa tabela zawiera te liczby, dla których z pierwiastków stopnia od 2 do 5 tych liczb można wyłączyć czynnik przed pierwiastek.

n	√n	³√n	⁴√n	⁵√n
4	2
8	2√2	2
9	3
12	2√3
16	4	2³√2	2
18	3√2
20	2√5
24	2√6	2³√3
25	5
27	3√3	3
28	2√7
32	4√2	2³√4	2⁴√2	2
36	6
40	2√10	2³√5
44	2√11
45	3√5
48	4√3	2³√6	2⁴√3
49	7
50	5√2
52	2√13
54	3√6	3³√2
56	2√14	2³√7
60	2√15
63	3√7
64	8	4	2⁴√4	2⁵√2
68	2√17
72	6√2	2³√9
75	5√3
76	2√19
80	4√5	2³√10	2⁴√5
81	9	3³√3	3
84	2√21
88	2√22	2³√11
90	3√10
92	2√23
96	4√6	2³√12	2⁴√6	2⁵√3
98	7√2
99	3√11
100	10
104	2√26	2³√13
108	6√3	3³√4
112	4√7	2³√14	2⁴√7
116	2√29
117	3√13
120	2√30	2³√15
121	11
124	2√31
125	5√5	5
126	3√14
128	8√2	4³√2	2⁴√8	2⁵√4
132	2√33
135	3√15	3³√5
136	2√34	2³√17
140	2√35
144	12	2³√18	2⁴√9
147	7√3
148	2√37
150	5√6
152	2√38	2³√19
153	3√17
156	2√39
160	4√10	2³√20	2⁴√10	2⁵√5
162	9√2	3³√6	3⁴√2
164	2√41
168	2√42	2³√21
169	13
171	3√19
172	2√43
175	5√7
176	4√11	2³√22	2⁴√11
180	6√5
184	2√46	2³√23
188	2√47
189	3√21	3³√7
192	8√3	4³√3	2⁴√12	2⁵√6
196	14
198	3√22
200	10√2	2³√25

Logarytm

Definicja	Własności	Więcej
Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x. $\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x$ Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym. $\log_{10}x=\log x$ Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x	dla $a\in R_{+}\backslash \{1\}$ oraz $b,c\in R_{+}$ prawdziwe są wszystkie poniższe zależności: $\log_{a}1=0$ $\log_{a}a=1$ $\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c$ $\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$ $\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b$ , $n\in R$ $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ , $c\neq 1$ $a^{\log_{a}b}=b$ $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a$	Przejdź do artykułów: logarytm Własności logarytmów

Definicja

Własności

Więcej

Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

$\log_{a}x=y\Leftrightarrow a^y=x$

Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym.

$\log_{10}x=\log x$

Logarytm naturalny liczby x jest to logarytm po podstawie równej e=2,718281828... (liczba Eulera) i oznaczamy go przez ln x

dla
$a\in R_{+}\backslash \{1\}$
oraz
$b,c\in R_{+}$ prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:

$\log_{a}1=0$

$\log_{a}a=1$

$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c$

$\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$

$\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b$ , $n\in R$

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ , $c\neq 1$

$a^{\log_{a}b}=b$

$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a$

Przejdź do artykułów:

Liczby pierwsze

Tablica 1999 kolejnych liczb pierwszych, uszeregowanych według kolejności ich występowania w formie wygodnej tablicy.

Tablica rozkładu liczby na czynniki pierwsze

Rozkład liczby na czynniki

Tablica rozkładu dowolnej liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Tablica zawiera także prosty kalkulator rozkładu liczby na czynniki.

Analiza matematyczna

Ciąg arytmetyczny

Definicja	Własności	Więcej
Ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek: $a_{n+1}-a_n=r$ Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.	Różnica ciągu arytmetycznego: $a_{n+1}-a_n=r$ Wzór na n-ty wyraz ciągu: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$	Przejdź do artykułu Ciąg arytmetyczny.

Definicja

Własności

Więcej

Ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$a_{n+1}-a_n=r$

Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.

Różnica ciągu arytmetycznego:

$a_{n+1}-a_n=r$

Wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$

Przejdź do artykułu Ciąg arytmetyczny.

Ciąg geometryczny

Definicja	Własności	Więcej
Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba q≠0, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.	Iloraz ciągu geometrycznego: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ Wzór na n-ty wyraz ciągu: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ Inne: $a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$ Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:	Przejdź do artykułu Ciąg geometryczny.

Definicja

Własności

Więcej

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba q≠0, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.

Iloraz ciągu geometrycznego:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Inne:

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

Przejdź do artykułu Ciąg geometryczny.

Szereg geometryczny

Definicja	Własności	Więcej
Ciąg (S_n) nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego. Ponieważ n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem $a_n=a_1\cdot{q^{n-1}}$ , to szereg geometryczny będzie miał następującą postać: $a_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...$	Szereg geometryczny jest zbieżny , gdy \|q\|<1 i ma sumę $S=\frac{a_1}{1-q}$ natomiast jest rozbieżny, gdy $\|q\|\geq{1}$	Przejdź do artykułu: Szereg geometryczny.

Definicja

Własności

Więcej

Ciąg (S_n) nazywamy szeregiem geometrycznym lub ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego.

Ponieważ n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem $a_n=a_1\cdot{q^{n-1}}$ , to szereg geometryczny będzie miał następującą postać: