Potęga o wykładniku niewymiernym

Sposób w jaki obliczamy potęgę o wykładniku niewymiernym w określamy tylko dla podstawy a>0. Korzystamy tutaj z ciągu przybliżeń z niedomiarem oraz nadmiarem liczby w. Tworzymy na tej podstawie ciąg potęg o wykładniku wymiernym. Kres dolny oraz kres górny zbioru wyrazów tych ciągów, to właśnie wartość potęgi o wykładniku niewymiernym.

Przykład

Na przykładzie zobaczmy, w jaki sposób wyznaczamy potęgę $2^{\pi}$ .
Liczba $\pi=3.1415926535...$
Tworzymy ciąg z niedomiarem: (3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) i ciąg z nadmiarem: (3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, ...) oraz odpowiadające im ciągi potęg:

$(2^{3.1},2^{3.14},2^{3.141},2^{3.1415},...)\\(2^{3.2},2^{3.15},2^{3.142},2^{3.1416},...)$

Każdy z tych wyrazów ciągu jesteśmy w stanie policzyć, korzystając z wiedzy na temat potęgi o wykładniku wymiernym. Dla przykładu policzymy wartość pierwszego wyrazu pierwszego ciągu.

$2^{3.1}=2^{3\frac{1}{10}}=2^{\frac{31}{10}}=\sqrt[10]{2^{31}}=8\sqrt[10]{2}$

Jest to już pewne przybliżenie szukanej potęgi (zauważ, że także niewymierne). W zależności od wymaganej dokładności wyniku, bierzemy pod uwagę kolejny wyraz jednego z powyższych ciągów.
Możemy napisać, że $2^{\pi}\approx{8}\sqrt[10]{2}$ .

Jeżeli a>0 i b>0, to dowolnych liczb rzeczywistych m i n prawdziwe są wszystkie własności działań na potęgach.

Przykład

$2^{\sqrt{3}}\cdot{2^{-\sqrt{3}}}=2^{\sqrt{3}-\sqrt{3}}=2^0=1\\2^{\pi}\cdot{7^{\pi}}=14^{\pi}$

Inne zagadnienia z tej lekcji

Potęga o wykładniku wymiernym
Definicja i przykłady potęgi o wykładniku wymiernym wraz z rozwiązaniami zadań.

Test wiedzy