Kres górny i kres dolny

Zbiór A nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli istnieje liczba m nie większa od każdej liczby należącej do zbioru A.

Za pomocą kwantyfikatorów możemy powyższe zdanie zapisać w następujący sposób:

wzór - zbiór ograniczony

Zbiór A nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli istnieje liczba n nie mniejsza od każdej liczby należącej do zbioru A.

wzór - zbiór ograniczony

Zbiór ograniczony z góry oraz z dołu nazywamy zbiorem ograniczonym.

Przykład

Zbiór liczb naturalnych jest ograniczony z dołu na przykład przez liczby 0, -1, -100, -1000012334.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest ograniczony z góry na przykład przez liczby 0, 1, 543, 1000.

Definicja

Kres dolny zbioru A jest to największa z liczb ograniczająca ten zbiór z dołu.

Kres górny zbioru A jest to najmniejsza z liczb ograniczająca ten zbiór z góry.

Z powyższych definicji wynika, że zarówno kres górny, jak i kres dolny mogą należeć do zbioru, choć może się też zdarzyć, że do niego nie należą.
Kres górny zbioru A oznaczamy przez \(sup A\), natomiast kres dolny przez \(inf A\).

Przykłady

Kresem górnym liczb ujemnych jest liczba 0 (w tym przypadku kres górny nie należy do zbioru).
Kresem dolnym liczb naturalnych jest liczba 0 (przy założeniu, że liczba 0 należy do tego zbioru; tutaj kres dolny należy do rozpatrywanego zbioru).
Zbiór liczb rzeczywistych nie posiada kresu dolnego ani kresu górnego.