Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych jest to suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych: $W\cup IW=R$ .

Przykłady liczb rzeczywistych

Przykładem liczby rzeczywistej jest dowolna liczba wymierna lub niewymierna. Są to więc liczby: 0, 1, 12347593, -4564, 1/2, 0.445, 3.333..., π, √2, √5, 1-2√2, podstawa logarytmu naturalnego i wiele innych liczb. Takich liczb jest nieskończenie wiele. Co więcej, liczb rzeczywistych między dwiema liczbami naturalnymi, na przykład 0 i 1 również jest nieskończenie wiele. Liczby rzeczywiste spełniają aksjomat ciągłości. Mówiąc bardzo obrazowo oznacza to, że nie ma luk między liczbami na osi liczbowej. Co to jest oś liczbowa? Na to pytanie odpowiadamy niżej.

Oś liczbowa

Prostą, na której obrano punkt zerowy, jednostkowy (odległość między punktem zerowym a jednostkowym jest równa 1) oraz jeden ze zwrotów tej prostej uznano za dodatni nazywamy osią liczbową.

Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Liczbę x przyporządkowaną punktowi P na osi liczbowej nazywamy współrzędną punktu P na tej osi.

Przykład

Oto jak określić współrzędne punktów A,B,C,D oraz D.

Ponieważ punkt D jest oddalony od punktu zerowego o dwie jednostki w kierunku osi liczbowej, jego współrzędna wynosi 2. Punkt E jest oddalony o 2.5 jednostki (współrzędna zatem jest równa 2.5). Punkt A (podobnie jak punkt D) jest również oddalony od punktu zerowego o 2 jednostki, ale w stronę przeciwną niż wynosi zwrot osi liczbowej, współrzędną punktu A jest zatem liczba -2. Współrzędna punktu B jest liczba -1, a punktu C liczba -1/2.

W zbiorze R określone są relacje: nierówności ">" oraz "<" nazywane mocnymi (ostrymi), nierówności: "≥" (większe lub równe) oraz "≤" (mniejsze lub równe) nazywane słabymi (nieostrymi) oraz znak równości "=".

Pytania

Czy 0 jest liczbą rzeczywistą?

Tak, zero jest liczbą rzeczywistą. Należy przy tym także do zbioru liczb wymiernych, całkowitych i naturalnych (w zależności o przyjetej umowy).

Czy w zbiorze liczb rzeczywistych istnieje taka liczba, która nie jest ani liczbą wymierną, ani liczbą niewymierną?

Nie. Ponieważ zbiór R jest sumą zbioru liczb wymiernych i niewymiernych, nie ma w nim innych liczb.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

Ćwiczenia
Wykonaj ćwiczenia związane z tematem