Przedziały liczbowe

W matematyce często stosujemy tak zwane przedziały liczbowe. Określają one zakres liczb, które nas interesują. Jest to bardzo wygodny sposób zapisu podzbioru zbioru liczb rzeczywistych. Jeżeli interesuje nas zakres liczb od 0 do 1 włącznie, możemy to zapisać za pomocą przedziału domkniętego ⟨0;1⟩. Jeżeli chcielibyśmy zapisać zbiór liczb większych od 0 i mniejszych od 1 możemy użyć przedziału otwartego (0;1). A oto bardziej ścisłe określenie pojęcia przedziałów:

Nazwa przedziału	Oznaczenie	Definicja
przedział (obustronnie) otwarty	(a;b)	x∈(a;b)⇔a<x<b
przedział (obustronnie) zamknięty (domknięty)	<a;b>	x∈<a;b>⇔a≤x≤b
przedział lewostronnie zamknięty (domknięty)	<a;b)	x∈<a;b)⇔a≤x<b
przedział prawostronnie zamknięty (domknięty)	(a;b>	x∈(a;b>⇔a<x≤b
przedziały nieograniczone (nieskończone)	(-∞;a) (a;∞)	x∈(-∞;a)⇔x<a x∈(a;∞)⇔x>a

Przedziały mają swoją interpretację geometryczną. Poniższy rysunek ilustruje przedział domknięty <a;b> i otwarty (a;b):

Poniżej znajduje się interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domkniętych.

interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domknietych

Powyższy sposób graficznego przedstawiania przedziałów jest dobry, ale stwarza trudności podczas zaznaczania na osi wielu różnych przedziałów liczbowych. Stosujemy wówczas nieco inną, bardziej praktyczną metodę (jak na poniższym rysunku)

Na poniższym rysunku zilustrowano dwa przedziały liczbowe na jednej osi. Poprzez kreskowanie pól możemy łatwo wyznaczyć na przykład iloczyn (część wspólną) dwóch przedziałów. W poniższym przykładzie od razu widać, że częścią wspólną przedziałów (a;b> i (c;d) jest przedział (c;b>

Pamiętajmy, że przedziały to zbiory liczb, więc stosujemy tutaj zasady działań na zbiorach (przypomnij sobie informacje na temat: sumy, różnicy oraz iloczynu zbiorów). Szczególnie często będziesz korzystał z sumy i iloczynu przedziałów liczbowych przy okazji rozwiązywania układów równań i nierówności. Poniżej zamieszczono kilka przykładów działań na przedziałach.

Przykład 1

przedziały liczbowe

Suma przedziałów
(-2;2> $\cup$ (0;4) = (-2;4)
Iloczyn przedziałów
(-2;2> $\cap$ (0;4) = (0;2>
Różnica przedziałów
(-2;2>\ (0;4) = (-2;0>
- zero należy do przedziału (-2;2>, ale nie należy do przedziału (0;4), więc należy do różnicy tych przedziałów w myśl definicji, że element należy do różnicy zbiorów, jeżeli należy do pierwszego zbioru i nie należy do zbioru drugiego
(0;4)\ (-2;2> = (2;4)
liczba 2 należy do przedziału (-2;2>, a więc nie może należeć do rozpatrywanej różnicy przedziałów
W przypadku wyznaczania różnicy przedziałów zmienia się w niektórych przypadkach rodzaj przedziału z domkniętego na otwarty i odwrotnie.

Przykład 2

Przedziały liczbowe

Suma przedziałów
<-2;4) $\cup$ (0;2> = <-2;4)
Iloczyn przedziałów
<-2;4) $\cap$ (0;2> = (0;2>
Różnica przedziałów
<-2;4)\(0;2> = <-2;0> $\cup$ (2;4)
(0;2>\< -2;4) = Ø (zbiór pusty)

Przykład

Przedziały liczbowe

Suma przedziałów
<-2;0) $\cup$ <0;∞) = < -2;∞)
Iloczyn przedziałów
< -2;0) $\cap$ < 0;∞) = {0}
Różnica przedziałów
<-2;0)\< 0;∞) = <-2;0)
<0;∞)\< -2;0) = <0;∞)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

Ćwiczenia
Wykonaj ćwiczenia związane z tematem

Przedziały liczbowe

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Przedziały liczbowe

Zadanie - przedziały liczbowe
Zaznacz na osi liczbowej zbiór (-5;-2⟩∪(-1;5⟩ oraz ⟨-6;-3)∪⟨0;1⟩. Zaznacz na osi część wspólną tych zbiorów oraz zapisz wynik za pomocą przedziału liczbowego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na przedziałach liczbowych
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów ⟨-3;3) i (-4;2⟩

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na przedziałach liczbowych
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów (-1;1) i ⟨2;3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - przedziały liczbowe
Zapisać za pomocą przedziału liczbowego zbiór wszystkich x, które spełniają układ:
$\begin{cases}x\geq -1\\ x>-2 \\ x<3 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -4 ≤x-1≤4.
rysunek