Liczby niewymierne

Czy istnieją inne liczby niż wymierne, to znaczy takie, których nie da się wyrazić za pomocą ułamka zwykłego a/b? Odpowiedź jest twierdząca. Przykładem takiej liczby jest długość przekątnej kwadratu o boku a=1.

Założyliśmy, że a=1. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

1² + 1² = c², czyli:
c² = 2

Załóżmy, że c jest liczbą wymierną, czyli, że da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Wtedy:

(m/n)² = 2,
m²/n² = 2 (możemy obie strony równania pomnożyć przez n²)
m² = 2n²
m∙m = 2∙n∙n

Można próbować rozłożyć liczby po obu stronach równania na czynniki i zauważyć, że po lewej stronie równania czynnik 2 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy. Po prawej stronie równania czynnik 2 występuje zawsze w nieparzystej liczbie. Powyższa równość zatem nie może być spełniona. Założenie, że c jest liczbą wymierną jest więc błędne.

Jak wykazaliśmy liczby wymierne nie są wystarczające chociażby do mierzenia długości odcinków. Zbiór wszystkich takich liczb, nazywamy zbiorem liczb niewymiernych i oznaczamy symbolem IW. Liczba niewymierna może być dodatnia, a także ujemna. Liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele.

Powyższa definicja jest mało elegancka. Korzystając z pojęcia zbioru liczb rzeczywistych, możemy uścislić, że liczby niewymierne to liczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi. Są to więc takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera.

Przykład

Oto przykłady innych liczb niewymiernych: √3, 1+√5, -√7, 3√2, π (liczba pi).

Zadanie

Wykazać, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie:

Zastosujemy dowód nie wprost. Załóżmy, że suma liczby wymiernej x i niewymiernej y jest liczbą wymierną, czyli da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Czyli:
x + y = m/n
Po przeniesieniu x na drugą stronę równania otrzymamy:
y = m/n - x
Po prawej stronie mamy różnicę dwóch liczb wymiernych, czyli liczbę wymierną, y musiałoby być również liczbą wymierną, co jest sprzeczne z założeniem.

Własności liczb niewymiernych

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Pytania

Jak sprawdzić, czy liczba jest niewymierna?

Najczęściej stosuje się dowód nie wprost, czyli założenie, że dana liczba jest wymierna, czyli że da się wyrazić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych p/q, przy czym q jest różne od zera i poprzez dochodzenie do sprzeczności można wykazać, że dana liczba nie jest wymierna.

Dla pierwiastków można zastosować następującą metodę: jeżeli chcemy wykazać, że dla liczby naturalnej n liczba √n jest wymierna, wystarczy znaleźć taką liczbę pierwszą p, że n jest podzielne przez p i nie jest podzielna przez p². W ten sposób można na przykład stwierdzić, że liczba √18 nie jest wymierna, bo 18 jest podzielne przez 2, ale nie jest podzielna przez 4.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

Ćwiczenia
Wykonaj ćwiczenia związane z tematem