Logo Media Nauka

Liczby niewymierne

Teoria Czy istnieją inne liczby niż wymierne, to znaczy takie, których nie da się wyrazić za pomocą ułamka zwykłego a/b? Odpowiedź jest twierdząca. Przykładem takiej liczby jest długość przekątnej kwadratu o boku a=1.

kwadrat

Założyliśmy, że a=1. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

12 + 12 = c2, czyli:
c2 = 2

Załóżmy, że c jest liczbą wymierną, czyli, że da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Wtedy:

(m/n)2 = 2,
m2/n2 = 2
(możemy obie strony równania pomnożyć przez n2)
m2 = 2n2
m∙m = 2∙n∙n

Można próbować rozłożyć liczby po obu stronach równania na czynniki i zauważyć, że po lewej stronie równania czynnik 2 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy. Po prawej stronie równania czynnik 2 występuje zawsze w nieparzystej liczbie. Powyższa równość zatem nie może być spełniona. Założenie, że c jest liczbą wymierną jest więc błędne.

Teoria Jak wykazaliśmy liczby wymierne nie są wystarczające chociażby do mierzenia długości odcinków. Zbiór wszystkich takich liczb, nazywamy zbiorem liczb niewymiernych i oznaczamy symbolem IW. Liczba niewymierna może być dodatnia, a także ujemna. Liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele.

Powyższa definicja jest mało elegancka. Korzystając z pojęcia zbioru liczb rzeczywistych, możemy uścislić, że liczby niewymierne to liczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi. Są to więc takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera.

Przykład Przykład

Oto przykłady innych liczb niewymiernych: √3, 1+√5, -√7, 3√2, π (liczba pi).

zadanie Zadanie

Wykazać, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie:

Zastosujemy dowód nie wprost. Załóżmy, że suma liczby wymiernej x i niewymiernej y jest liczbą wymierną, czyli da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Czyli:
x + y = m/n
Po przeniesieniu x na drugą stronę równania otrzymamy:
y = m/n - x
Po prawej stronie mamy różnicę dwóch liczb wymiernych, czyli liczbę wymierną, y musiałoby być również liczbą wymierną, co jest sprzeczne z założeniem.

Własności liczb niewymiernych

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Pytania

Jak sprawdzić, czy liczba jest niewymierna?

Najczęściej stosuje się dowód nie wprost, czyli założenie, że dana liczba jest wymierna, czyli że da się wyrazić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych p/q, przy czym q jest różne od zera i poprzez dochodzenie do sprzeczności można wykazać, że dana liczba nie jest wymierna.

Dla pierwiastków można zastosować następującą metodę: jeżeli chcemy wykazać, że dla liczby naturalnej n liczba √n jest wymierna, wystarczy znaleźć taką liczbę pierwszą p, że n jest podzielne przez p i nie jest podzielna przez p2. W ten sposób można na przykład stwierdzić, że liczba √18 nie jest wymierna, bo 18 jest podzielne przez 2, ale nie jest podzielna przez 4.


© medianauka.pl, 2008-10-18, ART-87


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Liczby niewymierne

zadanie-ikonka Zadanie - czy dana liczba jest wymierna
Sprawdzić, czy liczba 5,35(43) jest wymierna czy niewymierna.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Liczby naturalneLiczby naturalne
Liczba naturalna jest to liczba ze zbioru N={0,1,2,3,4,...}
Liczby całkowiteLiczby całkowite
Liczba całkowita jest to liczba ze zbioru C={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...}
Liczby wymierneLiczby wymierne
Co to są liczby wymierne, co to jest ułamek zwykły i ułamek dziesiętny? Skracanie ułamków zwykłych.
Liczby rzeczywisteLiczby rzeczywiste
Co to są liczby rzeczywiste? Zbiór R jest to suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.
Kres górny i kres dolny zbioruKres górny i kres dolny zbioru
Co to jest kres górny i kres dolny, zbiór ograniczony z góry i z dołu?
Przedziały liczbowePrzedziały liczbowe
Co to są przedziały liczbowe? Działania na przedziałach liczbowych.




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.