Liczby całkowite
Co to jest liczba całkowita?
Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.
Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem \(\mathbb{Z}\). Czasem używa się także oznaczenia \(\mathbb{C}\) (w Polsce w szkole podstawowej). Tym symbolem jednak oznacza się zazwyczaj zbiór liczb zespolonych.
Ponadto stosuje się następujące oznaczenia:
- \(\mathbb{Z}_+\) — zbiór liczb dodatnich całkowitych;
- \(\mathbb{Z}_{-}\) — zbiór liczb ujemnych całkowitych;
Liczby przeciwne
W zbiorze liczb całkowitych możemy określić pojęcie liczb przeciwnych. Otóż:
Definicja
Przykłady
Przykłady liczb przeciwnych całkowitych:
- 1 i -1;
- 100 i -100;
- 120657 i -120567.
Należy pamiętać, że liczba przeciwna to nie to samo, co liczba odwrotna. Liczba przeciwna do 5 to -5, a odwrotna to \(\frac{1}{5}\).
Zbiór liczb całkowitych a zbiór liczb naturalnych
Podzbiorem zbioru liczb całkowitych jest zbiór liczb naturalnych, co można zapisać w następujący sposób: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\). Liczby całkowite, które nie są naturalne to wszystkie liczby ujemne przeciwne do liczb naturalnych, czyli -1, -2, -3, -4 itd. Zatem liczby całkowite są uogólnieniem liczb naturalnych. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby zaś wymierne.
Zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\) są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów, co wydaje się mocno zaskakujące.
Dla wykazania równoliczności tych zbiorów wystarczy utworzyć pary (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, -2), (4, 2) itd. W parach tych pierwsze elementy są liczbami naturalnymi, drugie — liczbami całkowitymi. Ponieważ elementy te wyczerpują zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\), każde dwie pary mają różne następniki i poprzedniki, więc zbiór liczb całkowitych ma tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych!
Działania na liczbach całkowitych
W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są:
To znaczy, że wyniki wszystkich tych działań na liczbach całkowitych są także liczbami całkowitymi.
Wyniki dzielenia nie zawsze należą do zbioru \(\mathbb{Z}\), więc dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych. Na przykład wynik dzielenia 1:2 jest ułamkiem, który nie należy do zbioru liczb całkowitych.
Ciekawostki
Liczby całkowite można zdefiniować na podstawie relacji równoważności na zbiorze par liczb naturalnych \((a,b)\). Klasa równoważności między parami \((a,b) i (c,d)\), będącymi w relacji, gdzie \(a + d =c + b\), może być wykorzystana do określenia zbioru liczb całkowitych. Na tym opiera się definicja Grassmanna.
Liczby całkowite można także określić na podstawie uogólnienia aksjomatyki Peano, o której wspomniano przy okazji omawiania liczb naturalnych.
Pytania
Czy 0 jest liczbą całkowitą?
Tak, zero jest liczbą całkowitą.
Jaka jest najmniejsza liczba jednocyfrowa?
Najmniejszą liczbą jednocyfrową całkowitą jest -9.
Czy liczb całkowitych jest więcej niż liczb naturalnych?
Nie. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. Oznacza to, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb całkowitych. Dowód znajdziesz powyżej w artykule.
Jakie są przykłady liczb całkowitych? Czy ułamki to liczby całkowite?
Przykłady wynikają wprost z definicji. Oto kilka liczb, które zaliczamy do zbioru liczb całkowitych: -4456, 43434211, 0, -1000. Ułamki co do zasady nie są liczbami całkowitymi. Ponieważ ułamek to nic innego, jak inny zapis dzielenia, to ułamki niewłaściwe, których licznik jest równy lub jest wielokrotnością mianownika z dowolnym znakiem, są liczbami całkowitymi (np. \(\frac{-50}{2}=-25, \frac{8}{4}=2, \frac{-2}{2}=-1\)).
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Powiązane quizy
Wybrane karty pracy
Super graf
Odejmowanie pisemne
O ile różnią się liczby?
Mnożenie liczb całkowitych
Dzielenie liczb całkowitych
Inne zagadnienia z tej lekcji
Liczby naturalne
Liczby wymierne
Liczby niewymierne
Liczby rzeczywiste
Kres górny i kres dolny zbioru
Przedziały liczbowe
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory© medianauka.pl, 2008-10-16, A-85
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-18