Liczby całkowite

Co to jest liczba całkowita?

Liczba całkowita jest to liczba ze zbioru \(\mathbb{Z}=\lbrace 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...\rbrace \).

Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem \(\mathbb{Z}\). Czasem używa się także oznaczenia \(\mathbb{C}\) (w Polsce w szkole podstawowej). Tym symbolem jednak oznacza się zazwyczaj zbiór liczb zespolonych.

Ponadto stosuje się następujące oznaczenia:

\(\mathbb{Z}_+\) — zbiór liczb dodatnich całkowitych;
\(\mathbb{Z}_{-}\) — zbiór liczb ujemnych całkowitych;

Liczby przeciwne

W zbiorze liczb całkowitych możemy określić pojęcie liczb przeciwnych. Otóż:

Definicja

Dwie liczby a i b nazywamy liczbami przeciwnymi, jeżeli a+b=0.

Przykłady

Przykłady liczb przeciwnych całkowitych:

1 i -1;
100 i -100;
120657 i -120567.

Należy pamiętać, że liczba przeciwna to nie to samo, co liczba odwrotna. Liczba przeciwna do 5 to -5, a odwrotna to \(\frac{1}{5}\).

Zbiór liczb całkowitych a zbiór liczb naturalnych

Podzbiorem zbioru liczb całkowitych jest zbiór liczb naturalnych, co można zapisać w następujący sposób: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\). Liczby całkowite, które nie są naturalne to wszystkie liczby ujemne przeciwne do liczb naturalnych, czyli -1, -2, -3, -4 itd. Zatem liczby całkowite są uogólnieniem liczb naturalnych. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby zaś wymierne.

Zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\) są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów, co wydaje się mocno zaskakujące.

Dla wykazania równoliczności tych zbiorów wystarczy utworzyć pary (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, -2), (4, 2) itd. W parach tych pierwsze elementy są liczbami naturalnymi, drugie — liczbami całkowitymi. Ponieważ elementy te wyczerpują zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\), każde dwie pary mają różne następniki i poprzedniki, więc zbiór liczb całkowitych ma tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych!

Działania na liczbach całkowitych

W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są:

To znaczy, że wyniki wszystkich tych działań na liczbach całkowitych są także liczbami całkowitymi.

Wyniki dzielenia nie zawsze należą do zbioru \(\mathbb{Z}\), więc dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych. Na przykład wynik dzielenia 1:2 jest ułamkiem, który nie należy do zbioru liczb całkowitych.

Ciekawostki

Liczby całkowite można zdefiniować na podstawie relacji równoważności na zbiorze par liczb naturalnych \((a,b)\). Klasa równoważności między parami \((a,b) i (c,d)\), będącymi w relacji, gdzie \(a + d =c + b\), może być wykorzystana do określenia zbioru liczb całkowitych. Na tym opiera się definicja Grassmanna.

Liczby całkowite można także określić na podstawie uogólnienia aksjomatyki Peano, o której wspomniano przy okazji omawiania liczb naturalnych.

Pytania

Czy 0 jest liczbą całkowitą?

Tak, zero jest liczbą całkowitą.

Jaka jest najmniejsza liczba jednocyfrowa?

Najmniejszą liczbą jednocyfrową całkowitą jest -9.

Czy liczb całkowitych jest więcej niż liczb naturalnych?

Nie. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. Oznacza to, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb całkowitych. Dowód znajdziesz powyżej w artykule.

Jakie są przykłady liczb całkowitych? Czy ułamki to liczby całkowite?

Przykłady wynikają wprost z definicji. Oto kilka liczb, które zaliczamy do zbioru liczb całkowitych: -4456, 43434211, 0, -1000. Ułamki co do zasady nie są liczbami całkowitymi. Ponieważ ułamek to nic innego, jak inny zapis dzielenia, to ułamki niewłaściwe, których licznik jest równy lub jest wielokrotnością mianownika z dowolnym znakiem, są liczbami całkowitymi (np. \(\frac{-50}{2}=-25, \frac{8}{4}=2, \frac{-2}{2}=-1\)).

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Liczby całkowite

Powiązane quizy

Odejmowanie przez dopełnianie 1-20

Szkoła podstawowa
Klasa 1
Liczba pytań: 20

Szybkie odejmowanie

Szkoła podstawowa
Klasa 4
Liczba pytań: 25

Dodawanie liczb ujemnych

Szkoła podstawowa
Klasa 5
Liczba pytań: 20

O ile różnią się liczby?

Szkoła podstawowa
Klasa 5
Liczba pytań: 14

Dzielenie liczb całkowitych

Szkoła podstawowa
Klasa 6
Liczba pytań: 15

Mnożenie liczb całkowitych

Szkoła podstawowa
Klasa 6
Liczba pytań: 20

Odejmowanie liczb ujemnych

Szkoła podstawowa
Klasa 6
Liczba pytań: 21

Wybrane karty pracy

Super graf

Odejmowanie pisemne

O ile różnią się liczby?

Mnożenie liczb całkowitych

Dzielenie liczb całkowitych

Kiedy odkryto liczby ujemne?

Czy liczb ujemnych używano tak samo wcześnie, jak liczb dodatnich? Nie! To zaskakujące, że liczby ujemne znamy od całkiem niedawna (szczególnie w Europie), a pełne zasady arytmetyki opracowano dopiero na początku XIX wieku.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Kres górny i kres dolny zbioru

Przedziały liczbowe

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory