Liczby całkowite

Co to jest liczba całkowita?

Liczba całkowita jest to liczba ze zbioru \(\mathbb{Z}=\lbrace 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...\rbrace \).

Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem \(\mathbb{Z}\). Czasem używa się także oznaczenia \(\mathbb{C}\) (w Polsce w szkole podstawowej). Tym symbolem jednak oznacza się zazwyczaj zbiór liczb zespolonych.

Ponadto stosuje się następujące oznaczenia:

\(\mathbb{Z}_+\) — zbiór liczb dodatnich całkowitych;
\(\mathbb{Z}_{-}\) — zbiór liczb ujemnych całkowitych;

Liczby przeciwne

W zbiorze liczb całkowitych możemy określić pojęcie liczb przeciwnych. Otóż:

Definicja

Dwie liczby a i b nazywamy liczbami przeciwnymi, jeżeli a+b=0.

Przykłady

Przykłady liczb przeciwnych całkowitych:

1 i -1;
100 i -100;
120657 i -120567.

Należy pamiętać, że liczba przeciwna to nie to samo, co liczba odwrotna. Liczba przeciwna do 5 to -5, a odwrotna to \(\frac{1}{5}\).

Zbiór liczb całkowitych a zbiór liczb naturalnych

Podzbiorem zbioru liczb całkowitych jest zbiór liczb naturalnych, co można zapisać w następujący sposób: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\). Liczby całkowite, które nie są naturalne to wszystkie liczby ujemne przeciwne do liczb naturalnych, czyli -1, -2, -3, -4 itd. Zatem liczby całkowite są uogólnieniem liczb naturalnych. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby zaś wymierne.

Zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\) są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów, co wydaje się mocno zaskakujące.

Dla wykazania równoliczności tych zbiorów wystarczy utworzyć pary (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, -2), (4, 2) itd. W parach tych pierwsze elementy są liczbami naturalnymi, drugie — liczbami całkowitymi. Ponieważ elementy te wyczerpują zbiory \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{Z}\), każde dwie pary mają różne następniki i poprzedniki, więc zbiór liczb całkowitych ma tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych!

Działania na liczbach całkowitych

W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są:

To znaczy, że wyniki wszystkich tych działań na liczbach całkowitych są także liczbami całkowitymi.

Wyniki dzielenia nie zawsze należą do zbioru \(\mathbb{Z}\), więc dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych. Na przykład wynik dzielenia 1:2 jest ułamkiem, który nie należy do zbioru liczb całkowitych.

Ciekawostki

Liczby całkowite można zdefiniować na podstawie relacji równoważności na zbiorze par liczb naturalnych \((a,b)\). Klasa równoważności między parami \((a,b) i (c,d)\), będącymi w relacji, gdzie \(a + d =c + b\), może być wykorzystana do określenia zbioru liczb całkowitych. Na tym opiera się definicja Grassmanna.

Liczby całkowite można także określić na podstawie uogólnienia aksjomatyki Peano, o której wspomniano przy okazji omawiania liczb naturalnych.

Pytania

Czy 0 jest liczbą całkowitą?

Tak, zero jest liczbą całkowitą.

Jaka jest najmniejsza liczba jednocyfrowa?

Najmniejszą liczbą jednocyfrową całkowitą jest -9.

Czy liczb całkowitych jest więcej niż liczb naturalnych?

Nie. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. Oznacza to, że liczb naturalnych jest tyle samo, co liczb całkowitych. Dowód znajdziesz powyżej w artykule.

Jakie są przykłady liczb całkowitych? Czy ułamki to liczby całkowite?

Przykłady wynikają wprost z definicji. Oto kilka liczb, które zaliczamy do zbioru liczb całkowitych: -4456, 43434211, 0, -1000. Ułamki co do zasady nie są liczbami całkowitymi. Ponieważ ułamek to nic innego, jak inny zapis dzielenia, to ułamki niewłaściwe, których licznik jest równy lub jest wielokrotnością mianownika z dowolnym znakiem, są liczbami całkowitymi (np. \(\frac{-50}{2}=-25, \frac{8}{4}=2, \frac{-2}{2}=-1\)).