Liczby naturalne

Co to jest liczba naturalna? Liczbę taką określamy w następujący sposób:

Liczba naturalna jest to liczba ze zbioru \(\mathbb{N}=\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, ...\rbrace \).

Za pomocą liczb naturalnych określamy liczbę elementów zbioru. Zbiór liczb naturalnych, oznaczany symbolem \(\mathbb{N}\), jest nieskończony. Najmniejszą liczbą naturalną jest liczba 0.

Liczby naturalne służą do zliczania rzeczy i określania kolejności. Są używane od zarania dziejów, natomiast pierwsze badania nad liczbami naturalnymi prowadzono w starożytnej Grecji, a także między innymi w Chinach.

Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Ciekawostki

Liczbę 0 (zero) dopiero od niedawna zaczęto zaliczać do zbioru liczb naturalnych. Ponadto do dzisiaj nie określono jednoznacznie, czy zero należy do zbioru \(\mathbb{N}\) i stosuje się w matematyce różne konwencje. Czasem przyjmuje się oznaczenie \(\mathbb{N}_0\) dla zbioru liczb naturalnych, do których należy zero. W tym kursie przyjmujemy, że \(0\in \mathbb{N}\). Dla zbioru {1, 2, 3, 4, 5, ...} będziemy stosować oznaczenie\(\mathbb{N}_+\).

Działania na liczbach naturalnych

W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są nasypujące działania: dodawanie i mnożenie. Wykonalność tych działań oznacza, że wyniki tych działań na liczbach naturalnych są także liczbami naturalnymi.

Wyniki odejmowania i dzielenia nie zawsze należą do zbioru \(\mathbb{N}\), więc nie są wykonalne w tym zbiorze. Na przykład wynik działania \(1-2=-1\) nie jest liczbą naturalną.

Własności liczb naturalnych

Zbiór liczb naturalnych ma nieskończenie wiele elementów. Różnica między kolejnymi dwoma liczbami naturalnymi jest równa 1.

Można powiedzieć, że liczby naturalne to liczby całkowite nieujemne.

W każdym niepustym podzbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

Zbiór liczb naturalnych jest uporządkowany. Oznacza to, że dla każdych dwóch liczb z tego zbioru można określić, która z nich jest większa.

Generowanie losowe liczb naturalnych

Wygeneruj losowo dowolną liczbę lub zestaw liczb z zadanego zakresu.



Poziom zaawansowany

Opis aksjomatyczny liczb naturalnych Peano

To jedna z najbardziej znanych aksjomatyka. Za pojęcia pierwotne (takie, których się nie definiuje) uważa się liczbę zero, liczbę naturalną i pojęcie następnika. Dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych podlega następującym akcjonariatom:

  • 0 jest liczbą naturalną.
  • Każda liczba naturalna ma swój następnik.
  • 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
  • Różnym liczbom naturalnym są przyporządkowane różne następniki.
  • Jeżeli do zbioru A należy 0 i wraz z każdą naturalną do zbioru A należy także następnik tej liczby, to każda liczba naturalna należy do zbioru A.

Pytania

Czy ułamek jest liczbą naturalną?

Dowolny ułamek (na przykład \(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\) itp.) nie jest liczbą naturalną. Pośród wszystkich ułamków można jednak znaleźć liczby naturalne. Dzieje się tak w przypadku ułamków niewłaściwych, w których licznik jest równy mianownikowi lub jest wielokrotnością mianownika (na przykład 2/2, 6/3, 12/4 itp.). Ułamek jest zapisem dzielenia, więc w tych właśnie przypadkach otrzymujemy wyniki w postaci liczb naturalnych.

Czy 0 jest liczbą naturalną?

Niestety odpowiedź nie jest wcale jednoznaczna. To, czy zero jest liczbą naturalną, jest kwestią umowną, którą należy na początku każdego dobrego kursu matematyki wyraźnie zaznaczyć. W naszym kursie przyjęliśmy najbardziej powszechną umowę, stosowaną także w kursach szkolnych. Przyjmujemy więc, że liczba zero jest liczbą naturalną. Dlaczego jednak przyjmuje się różne rozwiązania? Wszystko zależy od tego, do czego stosujemy zbiór liczb naturalnych. W matematyce liczby naturalne są najczęściej używane w trzech przypadkach: przy określaniu kolejności (1) przy określaniu liczebności (2) oraz jako przedmiot badań teorii liczb. W pierwszej sytuacji nie ma znaczenia, od jakiej liczby zaczynają się liczby naturalne (równie dobrze można zacząć numerować elementy zbioru od 555 albo -100). W drugim przypadku dla określenia mocy zbioru pustego liczba zero jest potrzebna. W trzecim przypadku w większości twierdzeń i definicji liczby przedstawia się w postaci różnych zależności i bardzo często zero okazuje się wyjątkiem, wobec którego wszystkie twierdzenia i definicje trzeba rozbudowywać o zastrzeżenia związane z liczbą zero. Wygodnie jest więc wykluczyć zero ze zbioru liczb naturalnych. Czasem stosuje się także zapis \(\mathbb{N}_+=\lbrace 1, 2, 3, 4, ...\rbrace \) dla uściślenia przypadku wyłączenia zera ze zbioru liczb naturalnych.

Ile różnych reszt można otrzymać, dzieląc liczbę naturalną przez 9?

Takich reszt jest tylko osiem. Są to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Dlaczego? Dzieląc 10 przez 9, otrzymujemy całość i 1 reszty. Dzieląc 11 przez 9, otrzymujemy 1 całość i 2 reszty itd. Gdy dochodzimy do liczby 18, otrzymujemy wynik 2 bez reszty. Dzieląc liczbę 19, otrzymujemy tym razem liczbę 2 i 1 reszty. Dla kolejnych liczb sytuacja się powtarza, z tą różnicą, że liczba całości jest odpowiednio większa.

Czy każda liczba całkowita jest liczbą naturalną?

Nie. Tylko liczba całkowita dodatnia jest liczbą naturalną. Natomiast każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. Mówiąc inaczej, zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych.

Czy istnieje najmniejsza liczba naturalna?

Tak, jest to liczba 0.

Jaka jest najmniejsza liczba jednocyfrowa?

Jest to liczba -9. Skąd to pytanie w tym miejscu? Otóż czasem pytanie to pojawia się w kontekście zadania domowego dla uczniów klas wczesnoszkolnych. W przypadku, gdy dziecko nie słyszało jeszcze o liczbach ujemnych, a zadanie jest zadane w kontekście liczb naturalnych, to wówczas odpowiedź stanowi liczba 0. Gdy jakiś nauczyciel uprze się z kolei, że jest to liczba 1, to również może mieć rację (przeczytaj odpowiedź na pytanie, czy 0 jest liczbą naturalną).

Ile jest liczb naturalnych?

Jest ich oczywiście nieskończenie wiele, jednak ciekawe jest to, że moc zbioru liczb naturalnych to tak zwana liczba kardynalna alef zero. Mówiąc kolokwialnie — najmniejsza z liczb nieskończonych! Co zdumiewające, zbiory liczb naturalnych i całkowitych są równoliczne. Więcej na ten temat znajdziesz w artykule o zbiorach.

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych?

Liczby naturalne dwucyfrowe to liczby z zakresu od 10 do 99, czyli wszystkie sto liczb z przedziału ⟨1,100⟩ z wyjątkiem dziesięciu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100. Liczb dwucyfrowych jest więc 90.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Powiązane quizy

Liczby — quiz

Liczba pytań: 21
Quiz szkolny
Średni wynik:
7 pkt / 33.33%
2024-02-18

Liczenie pieniędzy

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
8.31 pkt / 83.1%
2024-01-28

Dziesiątki — jedności

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
7.51 pkt / 75.1%
2024-01-28

Liczby naturalne — quiz

Liczba pytań: 20
Quiz szkolny
Średni wynik:
11.26 pkt / 56.3%
2024-01-27

Nazwy liczb

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
7.69 pkt / 76.9%
2024-01-27

Liczenie na obrazkach — quiz

Liczba pytań: 18
Quiz szkolny
Średni wynik:
15.83 pkt / 87.94%
2024-01-21

Liczenie na palcach — quiz

Liczba pytań: 21
Quiz szkolny
Średni wynik:
18.78 pkt / 89.43%
2024-01-21

Kostki — liczba oczek — quiz

Liczba pytań: 11
Quiz szkolny
Quiz dla dzieci
Średni wynik:
9.64 pkt / 87.64%
2024-01-17


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #1

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #2

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #3

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #4

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #5

ikona - karta pracy

Pismo szkolne — cyfry #6

ikona - karta pracy

Krzyżówka tematyczna

ikona - karta pracy

Policz pinezki.

ikona - karta pracy

Czytanie i zapis liczb

ikona - karta pracy

Setki, dziesiątki, jedności




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2008-08-22, A-68
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-18



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.