Zbiór

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Czasami, zamiast mówić „zbiór” będziemy używać pojęcia „mnogość”. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.

Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu, elementy zbioru — małymi literami.

Używamy też następujących symboli:

\(\in\) — czytamy: należy do;
\(\notin\) — czytamy: nie należy do;

Zapis: \(a\in A\) czytamy: „element \(a\) należy do zbioru A lub „\(a\) jest elementem zbioru A”.
Zapis: \(a\notin A\) czytamy: „element \(a\) nie należy do zbioru A” lub „\(a\) nie jest elementem zbioru A”.

Zbiór pusty

Zbiór pusty jest to taki zbiór, do którego nie należy żaden element. Zbiór pusty oznaczamy symbolem \(\emptyset\).

Zbiór skończony i nieskończony

Zbiór skończony jest to zbiór, który zawiera wszystkie elementy \(a_1, a_2, ..., a_n\) i oznaczamy, ujmując elementy zbioru skończonego w nawias klamrowy: \(Z=\lbrace a_1, a_2, ..., a_n\rbrace \).
Zbiór nieskończony jest to taki zbiór, który nie jest skończony ani pusty.

Przykłady

  • Zbiór liczb naturalnych jest przykładem zbioru nieskończonego.
  • Zbiór wszystkich ułamków zwykłych jest przykładem zbioru nieskończonego.
  • \(A=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\rbrace\) jest zbiorem skończonym, dziesięcioelementowym, jego elementami są liczby naturalne mniejsze od 11.

Zbiór A z powyższego przykładu można też przedstawić graficznie w postaci pętli.

zbiór - reprezentacja graficzna zbioru

Zbiór możemy określić także poprzez wypisanie elementów w nawiasach klamrowych lub poprzez własność \(W(x)\). Zapisujemy go wówczas jako:
\(\lbrace x\in A:W(x)\rbrace\).

Dla przykładu zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od 1 i mniejszych od 10 możemy zapisać jako \(\lbrace x \in \mathbb{R}: 1<x<10\rbrace \).

Równoliczność zbiorów

Jeżeli zbiory A i B mają po tyle samo elementów, to mówimy, że są równoliczne.

Łatwo sprawdzić równoliczność zbiorów skończonych. Wystarczy policzyć ich elementy. Dla przykładu zbiór \(A=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\rbrace\) jest równoliczny ze zbiorem \(B=\lbrace a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\rbrace \), ponieważ oba zbiory mają po 10 elementów.

Jak sprawdzić równoliczność dwóch zbiorów nieskończonych A i B? Postępujemy w takim przypadku w następujący sposób:

Tworzymy pary elementów tych zbiorów tak, aby:

Jeżeli każde dwie różne pary nie mają tego samego poprzednika ani tego samego następnika, to mamy pewność, że zbiory A i B są równoliczne.

Przykład

Sprawdźmy, czy zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych parzystych. Zgodnie z powyższą zasadą bierzemy każdy z elementów pierwszego zbioru oraz z drugiego zbioru i tworzymy pary: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), ... (kolejna liczba naturalna, kolejna liczba parzysta). Ponieważ każdy element tych zbiorów wykorzystujemy tylko raz, tworząc pary, udowodniliśmy, że zbiory te są równoliczne.

Moc zbioru

Jeżeli dwa zbiory są równoliczne, to mówimy, że mają tę samą moc (liczbę kardynalną). Moc zbioru \(A\) oznaczamy następująco: \(|A|\) lub \(\overline{\overline{A}}\). Dla zbiorów skończonych liczba kardynalna to nic innego jak liczba jego elementów.

Ciekawostki

Pytania

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji?

Na to pytanie odpowiadamy w artykule: Wyznaczanie wartości i argumentów funkcji.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.


Filmy


W filmie omawiamy pojęcie zbioru i jego własności, metody oznaczania, pojęcie równoliczności i mocy zbioru.


Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Zapisz za pomocą określenia własności zbioru następujące zbiory liczb:

A. Zbiór liczb całkowitych większych od 1000.

B. Zbiór liczb naturalnych, podzielnych przez 15.

C. Zbiór liczb parzystych dodatnich.

D. Zbiór liczb nieparzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Wypisz elementy zbiorów:

\(A=\lbrace x\in \mathbb{Z}: -11<x<1 \rbrace\).

\(B=\lbrace x\in \mathbb{N}: 3|x \land x<15\rbrace\)

\(C=\lbrace p \in \mathbb{Z}: |p|\leq 4 \rbrace\)

\(D=\lbrace x \in \mathbb{R}: x^2=-1 \rbrace\)

\(E=\lbrace n\in \mathbb{N}: n^2 \rbrace\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Czy liczb całkowitych jest więcej od liczb naturalnych?
Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że liczb całkowitych jest około dwa razy więcej niż liczb naturalnych. Jest jednak zupełnie inaczej.

Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2008-07-09, A-61
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-14



©® Media Nauka 2008-2023 r.