Definicja
Zanim omówimy pojęcie definicji w matematyce, należy zająć się zagadnieniem pojęcia pierwotnego.
Pojęcie pierwotne
Przykłady
Przykładami pojęć pierwotnych są:
- liczba — w teorii liczb;
- punkt — w geometrii euklidesowej;
- prosta — w geometrii euklidesowej;
- płaszczyzna — w geometrii euklidesowej;
- zbiór — w teorii mnogości.
Wybór pojęć pierwotnych może być różnorodny, stanowi on podstawę w budowaniu teorii.
Na bazie pojęć pierwotnych, a także pojęć wcześniej już określonych, określa się (definiuje) inne pojęcia matematyczne. Każde pojęcie matematyczne, które nie jest pojęciem pierwotnym, musi zostać zdefiniowane.
Związki między pojęciami pierwotnymi określają aksjomaty.
Definicja
Cechy definicji
- Budowa z trzech członów: nazwa, spójnik (np. „jest to”, „=”) oraz opis pojęcia.
- W opisie pojęcia nie może występować pojęcie definiowane lub pojęcie, które definiuje się za pomocą pojęcia definiowanego.
W definicji możemy używać zatem pojęć pierwotnych lub już wcześniej zdefiniowanych.
Definicja musi określać istniejące pojęcie i gwarantować jednoznaczny opis.
Przykłady
1. Przykład definicji: okrąg jest to zbiór wszystkich punktów na danej płaszczyźnie oddalonych o daną odległość od danego punktu.
Mamy tutaj:
- Odpowiedź na pytanie, co to jest okrąg.
- Określenie pojęcia okrąg za pomocą innych pojęć: zbiór, punkt, płaszczyzna, odległość, które muszą być wcześniej zdefiniowane lub są pojęciami pierwotnymi.
2. Definicja trójkąta: trójkąt jest to wielokąt, który ma trzy boki.
Mamy tutaj:
- Odpowiedź na pytanie, co to jest trójkąt.
- Określenie pojęcia trójkąt za pomocą innych pojęć: wielokąt, bok, liczba trzy.
Czasem określamy pewne pojęcia w matematyce za pomocą definicji indukcyjnej.
Definicja indukcyjna
Definicja indukcyjna opiera się na zasadzie indukcji matematycznej. W takim sposobie definiowania pojęcia określamy najpierw jeden lub kilka elementów, a następnie podajemy wzór lub przepis, w jaki sposób należy wyznaczyć inne elementy.
Przykład
Oto w jaki sposób definiujemy silnię (dla n ≥ 2):
0! = 1,
1! = 1,
n! = (n-1)!·n.
Dobra definicja – najważniejsze warunki
Dobra definicja matematyczna powinna spełniać kilka warunków:
Jednoznaczność
Dla danego obiektu powinniśmy móc jednoznacznie stwierdzić: „tak, to jest obiekt definiowany” albo „nie, to nie jest obiekt definiowany”.
Zgodność zakresów
Każdy obiekt spełniający opis definicji powinien być obiektem definiowanym i odwrotnie – każdy obiekt definiowany ma spełniać warunek z definicji.
Brak sprzeczności
Definicja nie może prowadzić do sytuacji niemożliwej (np. wymagać jednocześnie, by bok był równy i różny od 1).
Brak błędnego koła
W definicji nie używamy pojęcia, które właśnie definiujemy (ani pojęć od niego zależnych).
Rola definicji w matematyce
W matematyce definicje:
wprowadzają nowe pojęcia i nazwy,
nie są twierdzeniami w sensie „prawda/fałsz” – są umową, jak będziemy używać danego słowa,
muszą być tak zbudowane, by dało się ich wygodnie i jednoznacznie używać w twierdzeniach i dowodach.
Dobrze postawione definicje porządkują język matematyki i pozwalają uniknąć nieporozumień, a złe definicje szybko prowadzą do niejasności i błędów w rozumowaniu.
Powiązane materiały
Aksjomat i twierdzenie
Dowody i twierdzeniaĆwiczenia, sprawdziany i quizy
Definicja
Logika — quiz© medianauka.pl, 2016-07-04, A-58 / 62
Data aktualizacji artykułu: 2025-11-11
