Aksjomat i twierdzenie

Twierdzenie to zdanie logiczne, mające postać implikacji:

Z (założenie) $\Rightarrow$ T (teza)

Poprzednik implikacji Z nazywamy założeniem twierdzenia i określa ono warunki, dla których dane twierdzenie jest spełnione, zaś następnik implikacji T - nazywamy tezą twierdzenia i jest istotną treścią wypowiadanego twierdzenia.

Uwaga! Zdarza się, że twierdzenie jest wypowiadane w postaci innej niż implikacja. Zawsze jednak można je przeredagować tak, aby przybrało postać implikacji.

Przykład

Twierdzenie: Jeżeli liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć, to jest ona podzielna przez pięć.

W powyższym twierdzeniu:

założeniem jest zdanie: liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć,
tezą jest zdanie: liczba naturalna N jest podzielna przez pięć.

Aksjomat

Prawdziwość twierdzenia należy dowieść. Jednak część twierdzeń ma charakter twierdzeń pierwotnych, które z natury rzeczy nie mogą być dowiedzione. Takie twierdzenia nazywane są aksjomatami. Istnieją też twierdzenia, które przyjmuje się za prawdziwe mimo braku ich dowodu.

Przykład

Przykłady aksjomatów:

Jeżeli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
Dla dowolnych dwóch punktów A, B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty.
Jeżeli odcinek przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.

Twierdzenie w postaci: Z $\Rightarrow$ T nazywamy prostym, do którego twierdzenie odwrotne to twierdzenie w postaci: T $\Rightarrow$ Z, twierdzenie przeciwne to twierdzenie w postaci ~Z $\Rightarrow$ ~T, a twierdzenie przeciwstawne lub kontrapozycja to twierdzenie w postaci ~T $\Rightarrow$ ~Z Dowody twierdzeń można przeprowadzać na wiele sposobów. Wśród nich warto wymienić dowody wprost, nie wprost, indukcji zupełnej.

Dowód wprost polega na przyjęciu, że założenie twierdzenia jest prawdziwe i rozumowaniu tak długo, aż dojdzie się do wniosku, że teza twierdzenia jest prawdziwa.

Ponieważ twierdzenia proste i przeciwstawne mają tę samą wartość logiczną, dowód twierdzenia prostego można zastąpić jego kontrapozycją.

Dowód nie wprost polega na założeniu, że nie jest prawdziwa teza twierdzenia, a następnie poprzez odpowiednie rozumowanie dowodzi się sprzeczność z założeniem danego twierdzenia lub innymi twierdzeniami.

Przykład

Udowodnić, że jeżeli ułamek a/b jest nieskracalny (gdzie a i b są liczbami naturalnymi), to ułamek (b-a)/b jest także nieskracalny.

Założenie: a,b - liczby naturalne oraz a/b jest ułamkiem nieskracalnym.
Teza: (b-a)/b jest nieskracalny.

Stosujemy metodę dowodu nie wprost. Zgodnie z zasadami zakładamy, że teza nie jest prawdziwa, a więc, że ułamek (b-a)/b jest skracalny. Musimy więc dowieść sprzeczność założenia, czyli, że ułamek a/b jest skracalny.

Skoro ułamek (b-a)/b jest skracalny, to licznik i mianownik tego ułamka dzieli się przez taką samą liczbę m większą od 1, wyniki dzielenia b-a i b przez tę liczbę są liczbami naturalnymi k i l:
(b-a)/m=k i b/m=l.
Przekształcając oba równania otrzymujemy:
b-a=mk i b=ml.
Odejmując od siebie oba równania otrzymujemy (b-a)-b=mk-ml, czyli -a=m(k-l), mnożąc obie strony równania przez -1 otrzymujemy: a=m(l-k). Oznaczając liczbę l-k przez n (jest to także liczba naturalna) dostajemy zależność: a=mn, czyli a/m=n
Jak widać a/m=n i b/m=l, a więc ułamek a/b jest skracalny przez m, co jest sprzeczne z założeniem. Na tym kończymy dowód.

Często w dowodach twierdzeń stosuje się zasadę indukcji matematycznej (zupełnej). Będzie ona jednak stanowić osobny temat, przy okazji omawiania ciągów liczbowych.