Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Treść zadania:
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z definicją funkcji rosnącej, gdy prawdziwa jest implikacja: \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\) w zbiorze będącym dziedziną funkcji \(f(x)\), to mamy do czynienia z funkcją rosnącą.
Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że \(x_1<x_2\) wykażemy prawdziwość nierówności \(f(x_1)<f(x_2)\).
Zakładamy więc, że:
\(x_1<x_2\)
Obliczamy wartości funkcji:
\(f(x_1)=\frac{x_1}{2}-3\)
\(f(x_2)=\frac{x_2}{2}-3\)
Musimy wykazać, że dla wszystkich liczb rzeczywistych (dziedzina naszej funkcji) prawdziwa jest nierówność:
\(f(x_1)<f(x_2)\)
\(\frac{x_1}{2}-3<\frac{x_2}{2}-3\)
\(\frac{x_1}{2}<\frac{x_2}{2}/\cdot 2\)
\(x_1<x_2\)
Otrzymaliśmy nasze założenie, a więc dowiedliśmy, że nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
© medianauka.pl, 2010-03-20, ZAD-711
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=x^2\) jest rosnąca dla \(x>0\).