Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost


Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=\frac{x}{2}-3 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Założenie:
x_1<x_2
Teza:
f(x_1)<f(x_2)\\ \frac{x_1}{2}-3<\frac{x_2}{2}-3\\ \frac{x_1}{2}<\frac{x_2}{2}/\cdot 2\\ x_1<x_2
Funkcja f(x) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją funkcji rosnącej, gdy prawdziwa jest implikacja: x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) w zbiorze będącym dziedziną funkcji f(x), to mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że x_1<x_2 wykażemy prawdziwość nierówności f(x_1)<f(x_2)

Zakładamy więc, że:

x_1<x_2

Obliczamy wartości funkcji:

f(x_1)=\frac{x_1}{2}-3\\ f(x_2)=\frac{x_2}{2}-3

Musimy wykazać, że dla wszystkich liczb rzeczywistych (dziedzina naszej funkcji) prawdziwa jest nierówność:

f(x_1)<f(x_2)\\ \frac{x_1}{2}-3<\frac{x_2}{2}-3\\ \frac{x_1}{2}<\frac{x_2}{2}/\cdot 2\\ x_1<x_2

Otrzymaliśmy nasze założenie, a więc dowiedliśmy, że nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że funkcja f(x) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.


© medianauka.pl, 2010-03-20, ZAD-711





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.