Strona główna » Matematyka » Monotoniczność funkcji • Aksjomat i twierdzenie

Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Założenie:

Teza:
$f(x_1)>f(x_2)\\ 5-x_1>5-x_2\\ -x_1>-x_2/\cdot (-1)\\ x_1<x_2$
Funkcja f(x) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Zgodnie z definicją funkcji malejącej, gdy prawdziwa jest implikacja: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ w zbiorze będącym dziedziną funkcji f(x), to mamy do czynienia z funkcją malejącą.

Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że wykażemy prawdziwość nierówności

Zakładamy, że:

Obliczamy wartości funkcji:

$f(x_1)=5-x_1\\ f(x_2)=5-x_2$

Musimy wykazać, że dla wszystkich liczb rzeczywistych (dziedzina naszej funkcji) prawdziwa jest nierówność:

$f(x_1)>f(x_2)\\ 5-x_1>5-x_2\\ -x_1>-x_2/\cdot (-1)\\ x_1<x_2$

Otrzymaliśmy nasze założenie, a więc dowiedliśmy, że nierówność jest prawdziwa, co oznacza, że funkcja f(x) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.