Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze


Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=x^2 jest rosnąca dla x>0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Założenie:
x_1<x_2\\ x_1-x_2<0
Teza:
f(x_1)<f(x_2)\\ x_1^2>x_2^2\\ x_1^2-x_2^2>0\\ (x_1-x_2)(x_1+x_2)<0

Zgodnie z założeniem x1-x2 jest liczbą ujemną. Ponieważ x>0, więc suma x1+x2>0. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny - powyższa nierówność jest prawdziwa. Funkcja f(x) jest rosnąca dla x>0.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją funkcji rosnącej, gdy prawdziwa jest implikacja: x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) w zbiorze A, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym zbiorze.

Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że x_1<x_2 wykażemy prawdziwość nierówności f(x_1)<f(x_2)

Zakładamy więc, że:

x_1<x_2\\ x_1-x_2<0

Obliczamy wartości funkcji:

f(x_1)=x_1^2\\ f(x_2)=x_2^2

Musimy wykazać, że dla dodatnich wartości x prawdziwa jest nierówność:

f(x_1)<f(x_2)\\ x_1^2>x_2^2\\ x_1^2-x_2^2>0\\ (x_1-x_2)(x_1+x_2)<0

Musimy teraz przeanalizować lewą stronę nierówności. Zgodnie z założeniem x1-x2 jest liczbą ujemną. Mamy do czynienia tylko z argumentami x dodatnimi (badamy monotoniczność dla x>0), więc suma x1+x2 również jest liczbą dodatnią. Mamy po lewej stronie nierówności iloczyn liczby ujemnej i dodatniej, który jest ujemny. Zatem powyższa nierówność jest prawdziwa. Zatem dowiedliśmy, że funkcja f(x) jest rosnąca dla x>0.


© medianauka.pl, 2010-03-20, ZAD-713





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.