Nauka » Matematyka » Monotoniczność funkcji

Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja

jest rosnąca dla x>0.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Założenie:
$x_1<x_2\\ x_1-x_2<0$
Teza:
$f(x_1)<f(x_2)\\ x_1^2>x_2^2\\ x_1^2-x_2^2>0\\ (x_1-x_2)(x_1+x_2)<0$

Zgodnie z założeniem x₁-x₂ jest liczbą ujemną. Ponieważ x>0, więc suma x₁+x₂>0. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny - powyższa nierówność jest prawdziwa. Funkcja f(x) jest rosnąca dla x>0.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją funkcji rosnącej, gdy prawdziwa jest implikacja: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ w zbiorze A, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym zbiorze.

Przeprowadzimy dowód wprost, czyli na podstawie prawdziwości założenia wykażemy prawdziwość tezy, czyli na podstawie założenia, że wykażemy prawdziwość nierówności

Zakładamy więc, że:

$x_1<x_2\\ x_1-x_2<0$

Obliczamy wartości funkcji:

$f(x_1)=x_1^2\\ f(x_2)=x_2^2$

Musimy wykazać, że dla dodatnich wartości x prawdziwa jest nierówność:

$f(x_1)<f(x_2)\\ x_1^2>x_2^2\\ x_1^2-x_2^2>0\\ (x_1-x_2)(x_1+x_2)<0$

Musimy teraz przeanalizować lewą stronę nierówności. Zgodnie z założeniem x₁-x₂ jest liczbą ujemną. Mamy do czynienia tylko z argumentami x dodatnimi (badamy monotoniczność dla x>0), więc suma x₁+x₂ również jest liczbą dodatnią. Mamy po lewej stronie nierówności iloczyn liczby ujemnej i dodatniej, który jest ujemny. Zatem powyższa nierówność jest prawdziwa. Zatem dowiedliśmy, że funkcja f(x) jest rosnąca dla x>0.

Zadania podobne

Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=\frac{x}{2}-3$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.