Monotoniczność funkcji

Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:

rosnące
malejące
nierosnące
niemalejące

Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.

Funkcja stała

Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów.

Przykłady

Są to przykładowo funkcje:

\(f(x)=5\)
\(f(x)=0\)
\(f(x)=-111\)

Funkcja rosnąca

Funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w zbiorze \(A\), gdy dla dowolnych dwóch liczb \(x_1,\ x_2\) z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\)

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

funkcja rosnąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.

Jak zbadać, czy dana funkcja jest rosnąca?

Aby udowodnić, że dana funkcja jest rosnąca w danym przedziale wystarczy założyć, że \(x_1<x_2\) i wykazać, że \(f(x_1)<f(x_2)\), czyli \(f(x_2)-f(x_1)>0\)

Przykłady

Wykażemy, że funkcja \(f(x)=3x-2\) jest rosnąca w całej dziedzinie.

Zakładamy, że \(x_1<x_2\).

Obliczamy

\(f(x_1)=3x_1-2\)

\(f(x_2)=3x_2-2\)

Musimy wykazać, że

\(f(x_1)<f(x_2)\), czyli \(f(x_2)-f(x_1)>0\).

Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:

\(3x_2-2-(3x_1-2)>0\)

\(3x_2-2-3x_1+2>0\)

\(3x_2-3x_1>0\)

\(x_2-x_1>0\)

\(x_1<x_2\)

Jest to zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja malejąca

Funkcja \(f(x)\) jest malejąca w zbiorze \(A\), gdy dla dowolnych dwóch liczb \(x_1,\ x_2\) z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\)

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

funkcja malejąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.

Jak zbadać, czy dana funkcja jest malejąca?

Aby udowodnić, że dana funkcja jest malejąca w danym przedziale wystarczy założyć, że \(x_1<x_2\) i wykazać, że \(f(x_1)-f(x_2)>0\).

Przykłady

Wykażemy, że funkcja \(f(x)=\frac{1}{x}\) jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze \(\mathbb{R}_+\).

Zakładamy, że \(x_1<x_2\), czyli \(x_2-x_1>0\).

Obliczamy:

\(f(x_1)=\frac{1}{x_1}\)

\(f(x_2)=\frac{1}{x_2}\)

Musimy wykazać, że

\(f(x_1)>f(x_2)\), czyli \(f(x_1)-f(x_2)>0\).

Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:

\(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0\)

\(\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\)

Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego \(x_1,\ x_2\), co należało dowieść. Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.

Przedziały monotoniczności

Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

funkcja malejąca

W takim przypadku badając monotoniczność, określamy przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.

Funkcja niemalejąca

Funkcja \(f(x)\) jest niemalejąca w zbiorze \(A\), gdy dla dowolnych dwóch liczb \(x_1,\ x_2\) z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.

Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

funkcja niemalejąca

Funkcja nierosnąca

Funkcja \(f(x)\) jest nierosnąca w zbiorze \(A\), gdy dla dowolnych dwóch liczb \(x_1, x_2\) z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.

Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

funkcja niemalejąca

Pytania

Jakie są przykłady funkcji rosnącej, malejącej i stałej?

Na przykład funkcja \(y=x\) jest funkcją rosnącą, funkcja \(y=-2x\) to funkcja malejąca. Funkcja stała to na przykład funkcja \(y=-1\).

Czy funkcja liniowa ma przedziały monotoniczności?

Monotoniczność funkcji liniowej \(y=ax+b\):

funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy prostej \(a\) jest równy zeru,
funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik \(a\) jest większy od zera,
funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy prostej jest ujemny.

Jak przebiega badanie monotoniczności funkcji?

Jeżeli dana jest funkcja \(f(x)\), zakładamy, że \(x_1<x_2\) i wykazujemy, że:

\( f(x_1)>f(x_2)\) w przypadku funkcji malejącej,
\(f(x_1)<f(x_2)\) w przypadku funkcji rosnącej,
\(f(x_1)=f(x_2)\) w przypadku funkcji stałej.

Tak postępujemy dla prostych funkcji.

Znacznie wygodniejsze i łatwiejsze jest badanie monotoniczności funkcji przy pomocy pochodnej funkcji. Polecamy artykuł Pochodna a monotoniczność funkcji.

Jak zbadać monotoniczność funkcji kwadratowej?

Monotoniczność funkcji kwadratowej omawiamy w artykule Wykres funkcji kwadratowej.