Monotoniczność funkcji
Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:
- rosnące
- malejące
- nierosnące
- niemalejące
Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.
Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów. Są to przykładowo funkcje: f(x)=5, f(x)=0, f(x)=-111.
Funkcja rosnąca
Definicja
Funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.



Przykład
Wykażemy, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.
Zakładamy, że .
Obliczamy ,
.
Musimy wykazać, że , czyli
.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
co jest zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Funkcja malejąca
Definicja
Funkcja f(x) jest malejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.


Przykład
Wykażemy, że funkcja jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze R+.
Zakładamy, że , czyli
Obliczamy ,
.
Musimy wykazać, że , czyli
.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego , co należało dowieść.
Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.
Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

Funkcja niemalejąca
Definicja
Funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym, że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

Funkcja nierosnąca
Definicja
Funkcja f(x) jest nierosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym, że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

Pytania
Jakie są przykłady funkcji rosnącej, malejącej i stałej?
Na przykład funkcja y=x jest funkcją rosnącą, funkcja y=-2x to funkcja malejąca. Funkcja stała to na przykład funkcja y=-1.
Czy funkcja liniowa ma przedziały monotoniczności?
Funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca lub stała w całej swojej dziedzinie. Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy prostej a jest równy zeru, rosnąca, gdy współczynnik a jest większy od zera, malejąca, gdy współczynnik kierunkowy prostej jest ujemny.
Jak przebiega badanie monotoniczności funkcji?
Jeżeli dana jest funkcja f(x), zakładamy, że x1<x2 i wykazujemy, że:
- f(x1)>f(x2) w przypadku funkcji malejącej,
- f(x1)<f(x2) w przypadku funkcji rosnącej,
- f(x1)=f(x2) w przypadku funkcji stałej.
Tak postępujemy dla prostych funkcji. Znacznie wygodniejsze i łatwiejsze jest badanie monotoniczności funkcji przy pomocy pochodnej funkcji. Polecamy artykuł Pochodna a monotoniczność funkcji.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Monotoniczność funkcji
Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca dla x>0.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.
© medianauka.pl, 2009-05-06, ART-202