Logo Media Nauka

Monotoniczność funkcji

Teoria Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:

  • rosnące
  • malejące
  • nierosnące
  • niemalejące

Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.

Teoria Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów. Są to przykładowo funkcje: f(x)=5, f(x)=0, f(x)=-111.

Funkcja rosnąca

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

funkcja rosnąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest rosnąca w danym przedziale wystarczy założyć, że x_{1}<x_{2} i wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0

Przykład Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=3x-2 jest rosnąca w całej dziedzinie.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}.
Obliczamy f(x_{1})=3x_{1}-2,f(x_{2})=3x_{2}-2.
Musimy wykazać, że f(x_{1})<f(x_{2}), czyli f(x_{2})-f(x_{1})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
3x_{2}-2-(3x_{1}-2)>0\\ 3x_{2}-2-3x_{1}+2>0\\ 3x_{2}-3x_{1}>0\\ x_{2}-x_{1}>0\\ x_{1}<x_{2}
co jest zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja malejąca

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest malejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

funkcja malejąca

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest malejąca w danym przedziale wystarczy założyć, że x_{1}<x_{2} i wykazać, że f(x_{1})-f(x_{2})>0

 

Przykład Przykład

Wykażemy, że funkcja f(x)=\frac{1}{x} jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze R+.
Zakładamy, że x_{1}<x_{2}, czyli x_{2}-x_{1}>0
Obliczamy f(x_{1})=\frac{1}{x_{1}}, f(x_{2})=\frac{1}{x_{2}}.

Musimy wykazać, że f(x_{1})>f(x_{2}), czyli f(x_{1})-f(x_{2})>0.
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0\\ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0

Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego x_{1}, x_{2}, co należało dowieść.
Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.


Teoria Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

funkcja malejąca

Funkcja niemalejąca

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym, że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

funkcja niemalejąca

Funkcja nierosnąca

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest nierosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb x_{1}, x_{2} z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geq f(x_{2})

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym, że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

funkcja niemalejąca

Pytania

Jakie są przykłady funkcji rosnącej, malejącej i stałej?

Na przykład funkcja y=x jest funkcją rosnącą, funkcja y=-2x to funkcja malejąca. Funkcja stała to na przykład funkcja y=-1.

Czy funkcja liniowa ma przedziały monotoniczności?

Funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca lub stała w całej swojej dziedzinie. Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy prostej a jest równy zeru, rosnąca, gdy współczynnik a jest większy od zera, malejąca, gdy współczynnik kierunkowy prostej jest ujemny.

Jak przebiega badanie monotoniczności funkcji?

Jeżeli dana jest funkcja f(x), zakładamy, że x1<x2 i wykazujemy, że:

  • f(x1)>f(x2) w przypadku funkcji malejącej,
  • f(x1)<f(x2) w przypadku funkcji rosnącej,
  • f(x1)=f(x2) w przypadku funkcji stałej.

Tak postępujemy dla prostych funkcji. Znacznie wygodniejsze i łatwiejsze jest badanie monotoniczności funkcji przy pomocy pochodnej funkcji. Polecamy artykuł Pochodna a monotoniczność funkcji.


© medianauka.pl, 2009-05-06, ART-202





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Monotoniczność funkcji

zadanie-ikonka Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=\frac{x}{2}-3 jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=x^2 jest rosnąca dla x>0.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Miejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji
Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.
Funkcja okresowaFunkcja okresowa
Funkcja jest okresowa, gdy spełniony jest warunek f(x)=f(x+T) i ...
Funkcja parzysta i nieparzystaFunkcja parzysta i nieparzysta
Omówienie własności parzystości i nieparzystości funkcji.
Ekstremum funkcjiEkstremum funkcji
Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji.
Funkcja różnowartościowaFunkcja różnowartościowa
Co to jest funkcja różnowartościowa?



© Media Nauka 2008-2018 r.