Monotoniczność funkcji

Monotoniczność jest to pewna cecha funkcji, która mówi nam, co się dzieje z wartościami funkcji podczas zwiększania wartości liczbowych argumentów funkcji. I tak wyróżniamy z tego względu funkcje:

rosnące
malejące
nierosnące
niemalejące

Warto tu jeszcze wspomnieć o funkcji stałej, choć nie mówimy o niej jak o funkcji monotonicznej.

Funkcja stała to taka funkcja, która przyjmuje takie same wartości dla dowolnych argumentów. Są to przykładowo funkcje: f(x)=5, f(x)=0, f(x)=-111.

Funkcja rosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb $x_{1}, x_{2}$ z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

$x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$

Pojęcie funkcji rosnącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że rosną też wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją rosnącą w tym przedziale.

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji rosnącej jest to, że zdaje się wznosić ku górze.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest rosnąca w danym przedziale wystarczy założyć, że $x_{1}<x_{2}$ i wykazać, że $f(x_{1})<f(x_{2})$ , czyli $f(x_{2})-f(x_{1})>0$

Przykład

Wykażemy, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.
Zakładamy, że $x_{1}<x_{2}$ .
Obliczamy $f(x_{1})=3x_{1}-2$ , $f(x_{2})=3x_{2}-2$ .
Musimy wykazać, że $f(x_{1})<f(x_{2})$ , czyli $f(x_{2})-f(x_{1})>0$ .
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
$3x_{2}-2-(3x_{1}-2)>0\\ 3x_{2}-2-3x_{1}+2>0\\ 3x_{2}-3x_{1}>0\\ x_{2}-x_{1}>0\\ x_{1}<x_{2}$
co jest zgodne z założeniem. A więc funkcja ta jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja malejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest malejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb $x_{1}, x_{2}$ z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

$x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$

Pojęcie funkcji malejącej można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeżeli będziemy zwiększać w całym rozpatrywanym przedziale argumenty funkcji i zaobserwujemy, że maleją wartości funkcji dla tych argumentów, to mamy do czynienia z funkcją malejącą w tym przedziale.

Cechą charakterystyczną wykresu funkcji malejącej jest to, że zdaje się opadać w dół.

Aby udowodnić, że dana funkcja jest malejąca w danym przedziale wystarczy założyć, że $x_{1}<x_{2}$ i wykazać, że $f(x_{1})-f(x_{2})>0$

Przykład

Wykażemy, że funkcja $f(x)=\frac{1}{x}$ jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, czyli w zbiorze R₊.
Zakładamy, że $x_{1}<x_{2}$ , czyli $x_{2}-x_{1}>0$
Obliczamy $f(x_{1})=\frac{1}{x_{1}}$ , $f(x_{2})=\frac{1}{x_{2}}$ .

Musimy wykazać, że $f(x_{1})>f(x_{2})$ , czyli $f(x_{1})-f(x_{2})>0$ .
Podstawiamy do nierówności wyliczone wartości funkcji i otrzymujemy:
$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0\\ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0$

Przeanalizujmy powyższe wyrażenie. Licznik zgodnie z założeniem jest większy od zera. Jeżeli chodzi o mianownik, to zauważamy, że rozpatrujemy liczby z dziedziny funkcji, a więc jedynie liczby dodatnie, których iloczyn jest również dodatni. Ułamek, którego licznik i mianownik jest większy od zera jest oczywiście większy od zera. Oznacza to, że nierówność, którą rozpatrujemy jest prawdziwa dla każdego $x_{1}, x_{2}$ , co należało dowieść.
Funkcja ta jest więc malejąca w rozpatrywanym zbiorze.

Czy funkcja może być jednocześnie malejąca i rosnąca w różnych przedziałach liczbowych? Oczywiście, że tak. Poniżej przykład takiej funkcji wraz z określonymi przedziałami, w których funkcja rośnie i maleje oraz jest stała.

Funkcja niemalejąca

Definicja

Funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb $x_{1}, x_{2}$ z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

$x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leq f(x_{2})$

Zatem definicja funkcji niemalejącej przypomina definicję funkcji rosnącej, z tym, że w przypadku funkcji niemalejącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji niemalejącej.

Funkcja nierosnąca

Definicja

Funkcja f(x) jest nierosnąca w zbiorze A, gdy dla dowolnych dwóch liczb $x_{1}, x_{2}$ z tego zbioru prawdziwa jest implikacja:

$x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geq f(x_{2})$

Zatem definicja funkcji nierosnącej przypomina definicję funkcji malejącej, z tym, że w przypadku funkcji nierosnącej mamy nieostrą nierówność. Dopuszczamy więc przedziały, w których funkcja jest stała.
Oto ilustracja funkcji nierosnącej.

Pytania

Jakie są przykłady funkcji rosnącej, malejącej i stałej?

Na przykład funkcja y=x jest funkcją rosnącą, funkcja y=-2x to funkcja malejąca. Funkcja stała to na przykład funkcja y=-1.

Czy funkcja liniowa ma przedziały monotoniczności?

Funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca lub stała w całej swojej dziedzinie. Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy prostej a jest równy zeru, rosnąca, gdy współczynnik a jest większy od zera, malejąca, gdy współczynnik kierunkowy prostej jest ujemny.

Jak przebiega badanie monotoniczności funkcji?

Jeżeli dana jest funkcja f(x), zakładamy, że x₁<x₂i wykazujemy, że:

f(x₁)>f(x₂) w przypadku funkcji malejącej,
f(x₁)<f(x₂) w przypadku funkcji rosnącej,
f(x₁)=f(x₂) w przypadku funkcji stałej.

Tak postępujemy dla prostych funkcji. Znacznie wygodniejsze i łatwiejsze jest badanie monotoniczności funkcji przy pomocy pochodnej funkcji. Polecamy artykuł Pochodna a monotoniczność funkcji.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Monotoniczność funkcji

Zadanie - monotoniczność funkcji, dowód wprost
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=\frac{x}{2}-3$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji na podstawie definicji
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja f(x)=5-x jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotonicznośc funkcji w zbiorze
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca dla x>0.