Miejsce zerowe funkcji

Definicja

Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.

Punkt zerowy najczęściej oznaczamy przez x₀. Jeśli funkcja posiada więcej miejsc zerowych niż jedno, to oznaczamy je przez x₁, x₂, itd.

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji musimy rozwiązać równanie f(x)=0. Obliczanie miejsca zerowego sprowadza się zatem do rozwiązania odpowiedniego równania.

Przykład

Dana jest funkcja f(x)=4-x. Aby znaleźć jej miejsca zerowe rozwiązujemy więc równanie:
0=4-x, a więc x=4.
Zatem funkcja ta ma jedno miejsce zerowe x₀=4.

Miejsce zerowe funkcji ściśle związane jest z miejscem przecięcia się wykresu funkcji z osią OX, a mianowicie zakładając, że miejscem zerowym funkcji f(x) jest x₀, to punkt przecięcia się wykresu z osią OX ma współrzędne (x₀ ,0).

Dla powyższego przykładu miejscem przecięcia się wykresu funkcji z osią OX jest punkt (4,0).

Przykład

Zbadajmy ile i jakie miejsca zerowe posiada funkcja y=-x²+1 i spróbujmy to zrobić bez znajomości rozwiązywania równań kwadratowych. Sporządzimy tabelkę zmienności funkcji i sporządzimy szkic wykresu tej funkcji.

x	0	1	-1	2	-2
y	1	0	0	-3	-3

Sporządzamy szkic wykresu funkcji i zaznaczamy miejsca zerowe.

Widzimy, że funkcja ma 2 miejsca zerowe, a z tabelki możemy odczytać, że są to x₁=-1 i x₂=1 (są to wartości, dla których y=0).

Pytania

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej?

Tak jak dla każdego przypadku funkcji, należy rozwiązać równanie f(x)=0. W tym przypadku otrzymamy równanie kwadratowe. Więcej na temat miejsc zerowych funkcji kwadratowej znajdziesz tutaj.

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej?

Funkcja liniowa dana jest wzorem f(x)=ax+b. Rozwiązując równanie f(x)=0, czyli:
ax+b=0
ax=-b
x=-b/a dla a≠0.

Dla przykładu miejscem zerowym funkcji y=3x+2 jest punkt -2/3.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Miejsce zerowe funkcji

Zadanie - miejsce zerowe funkcji
Wyznaczyć miejsce zerowe funkcji:
a)
b)
c)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - miejsce zerowe i równanie prostej
Wyznaczyć wzór funkcji funkcji, której wykresem jest prosta przechodząca przez punkt A(1,5) i która ma jedno miejsce zerowe x₀=5.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$ . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8