Logo Serwisu Media Nauka

Ekstremum funkcji

Teoria Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poniżej zdefiniowano oba pojęcia w oparciu o założenie: x_0\in (a,b) i funkcja f jest określona w tym przedziale.

Maksimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)<f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=-x2+1.

Maksimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno maksimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicji to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są mniejsze od maksimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.

Minimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 minimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)>f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x2+1.

Minimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno minimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicja to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są większe od minimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.


Minimum i maksimum są pojęciami lokalnymi, to znaczy, że obowiązują jedynie w pewnym przedziale. Funkcja może mieć kilka minimum i kilka maksimum jednocześnie. Zdarza się też, że minimum może być większe niż maksimum. Przyjrzyjmy się poniższej ilustracji, na której wykreślono funkcję określoną w przedziale <0,4>.

Minimum i maksimum funkcji

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Widać, że minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi być mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej wartości funkcji (tutaj równej 0), a maksimum nie musi być równe największej wartości funkcji, która w tym przypadku wynosi 4.

Dlaczego w punkcie x=4 nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0 nie mamy minimum? Dlatego, że nie możemy określić przedziału (m,n), o którym mowa w definicji, a którego punkty 0 i 4 byłyby środkiem. Są to w tym przypadku najmniejsze i największe wartości funkcji.


© medianauka.pl, 2009-05-13, ART-206





Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.