Ekstremum funkcji

Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poniżej zdefiniowano oba pojęcia w oparciu o założenie: $x_0\in (a,b)$ i funkcja f jest określona w tym przedziale.

Maksimum funkcji

Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x₀ maksimum, jeżeli istnieje taki przedział $(m,n)\subset(a,b)$ o środku w punkcie x₀, w którym dla każdego $x\in (m,n)$
różnego od x₀ spełniona jest nierówność

Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=-x²+1.

Widzimy, że funkcja ma jedno maksimum w punkcie x₀=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicji to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x₀ z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są mniejsze od maksimum, czyli wartości funkcji w punkcie x₀=0.

Minimum funkcji

Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x₀ minimum, jeżeli istnieje taki przedział $(m,n)\subset(a,b)$ o środku w punkcie x₀, w którym dla każdego $x\in (m,n)$
różnego od x₀ spełniona jest nierówność

Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x²+1.

Widzimy, że funkcja ma jedno minimum w punkcie x₀=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicja to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x₀ z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są większe od minimum, czyli wartości funkcji w punkcie x₀=0.

Minimum i maksimum są pojęciami lokalnymi, to znaczy, że obowiązują jedynie w pewnym przedziale. Funkcja może mieć kilka minimum i kilka maksimum jednocześnie. Zdarza się też, że minimum może być większe niż maksimum. Przyjrzyjmy się poniższej ilustracji, na której wykreślono funkcję określoną w przedziale <0,4>.

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Widać, że minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi być mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej wartości funkcji (tutaj równej 0), a maksimum nie musi być równe największej wartości funkcji, która w tym przypadku wynosi 4.

Dlaczego w punkcie x=4 nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0 nie mamy minimum? Dlatego, że nie możemy określić przedziału (m,n), o którym mowa w definicji, a którego punkty 0 i 4 byłyby środkiem. Są to w tym przypadku najmniejsze i największe wartości funkcji.