Logo Media Nauka

Ekstremum funkcji

Teoria Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poniżej zdefiniowano oba pojęcia w oparciu o założenie: x_0\in (a,b) i funkcja f jest określona w tym przedziale.

Maksimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)<f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=-x2+1.

Maksimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno maksimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicji to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są mniejsze od maksimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.

Minimum funkcji

Definicja Definicja

Funkcja f osiąga w punkcie x0 minimum, jeżeli istnieje taki przedział (m,n)\subset(a,b) o środku w punkcie x0, w którym dla każdego x\in (m,n)
różnego od x0 spełniona jest nierówność f(x)>f(x_0)

Przykład Przykład

Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x2+1.

Minimum funkcji

Widzimy, że funkcja ma jedno minimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicja to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są większe od minimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.


Minimum i maksimum są pojęciami lokalnymi, to znaczy, że obowiązują jedynie w pewnym przedziale. Funkcja może mieć kilka minimum i kilka maksimum jednocześnie. Zdarza się też, że minimum może być większe niż maksimum. Przyjrzyjmy się poniższej ilustracji, na której wykreślono funkcję określoną w przedziale <0,4>.

Minimum i maksimum funkcji

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Widać, że minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi być mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej wartości funkcji (tutaj równej 0), a maksimum nie musi być równe największej wartości funkcji, która w tym przypadku wynosi 4.

Dlaczego w punkcie x=4 nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0 nie mamy minimum? Dlatego, że nie możemy określić przedziału (m,n), o którym mowa w definicji, a którego punkty 0 i 4 byłyby środkiem. Są to w tym przypadku najmniejsze i największe wartości funkcji.

Pytania

Jak obliczyć ekstremum funkcji?

Ekstrema funkcji najczęściej znajduje się w oparciu o własności pochodnej funkcji. Szukanie ekstremum funkcji zostało omówione w artykule Pochodna a ekstremum funkcji.

Czym różnią się pojęcia ekstremum lokalne od ekstremum globalnego?

Ekstremum lokalne (czyli minimum lokalne lub maksimum lokalne) dotyczy pewnego otoczenia punktu (przedziału otwartego), w którym funkcja w żadnym punkcie nie przyjmuje wartości większych (maksimum) lub mniejszych (minimum). Ekstremum globalne to największa lub najmniejsza wartość funkcji w całej jej dziedzinie.


© medianauka.pl, 2009-05-13, ART-206





Inne zagadnienia z tej lekcji

Miejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji
Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.
Monotoniczność funkcjiMonotoniczność funkcji
Omówienie na przykładach pojęć takich jak: monotoniczność funkcji, funkcja rosnąca, malejąca, stała i inne
Funkcja okresowaFunkcja okresowa
Funkcja jest okresowa, gdy spełniony jest warunek f(x)=f(x+T) i ...
Funkcja parzysta i nieparzystaFunkcja parzysta i nieparzysta
Omówienie własności parzystości i nieparzystości funkcji.
Funkcja różnowartościowaFunkcja różnowartościowa
Co to jest funkcja różnowartościowa?



© Media Nauka 2008-2018 r.