Ekstremum funkcji
Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji. Poniżej zdefiniowano oba pojęcia w oparciu o założenie:
i funkcja f jest określona w tym przedziale.
Maksimum funkcji
Definicja
Funkcja f osiąga w punkcie x0 maksimum, jeżeli istnieje taki przedział o środku w punkcie x0, w którym dla każdego
różnego od x0 spełniona jest nierówność
Przykład
Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=-x2+1.

Widzimy, że funkcja ma jedno maksimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicji to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są mniejsze od maksimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.
Minimum funkcji
Definicja
Funkcja f osiąga w punkcie x0 minimum, jeżeli istnieje taki przedział o środku w punkcie x0, w którym dla każdego
różnego od x0 spełniona jest nierówność
Przykład
Rysunek ilustruje wykres funkcji f(x)=x2+1.

Widzimy, że funkcja ma jedno minimum w punkcie x0=0 równe 1.
Przedział (m,n), o którym mowa w definicja to może być dla przykładu przedział (-1,1), albo (-100,100) lub (-5,5). Widzimy, że dla dowolnej liczby różnej od x0 z tych przykładowych przedziałów wszystkie wartości funkcji są większe od minimum, czyli wartości funkcji w punkcie x0=0.
Minimum i maksimum są pojęciami lokalnymi, to znaczy, że obowiązują jedynie w pewnym przedziale. Funkcja może mieć kilka minimum i kilka maksimum jednocześnie. Zdarza się też, że minimum może być większe niż maksimum. Przyjrzyjmy się poniższej ilustracji, na której wykreślono funkcję określoną w przedziale <0,4>.

Mamy tutaj dwa maksima i dwa minima. Widać, że minimum 2 jest takie samo jak maksimum 1 (minimum wcale nie musi być mniejsze od maksimum). Ponadto minimum wcale nie oznacza najmniejszej wartości funkcji (tutaj równej 0), a maksimum nie musi być równe największej wartości funkcji, która w tym przypadku wynosi 4.
Dlaczego w punkcie x=4 nie mamy maksimum, a w w punkcie x=0 nie mamy minimum? Dlatego, że nie możemy określić przedziału (m,n), o którym mowa w definicji, a którego punkty 0 i 4 byłyby środkiem. Są to w tym przypadku najmniejsze i największe wartości funkcji.
Pytania
Jak obliczyć ekstremum funkcji?
Ekstrema funkcji najczęściej znajduje się w oparciu o własności pochodnej funkcji. Szukanie ekstremum funkcji zostało omówione w artykule Pochodna a ekstremum funkcji.
Czym różnią się pojęcia ekstremum lokalne od ekstremum globalnego?
Ekstremum lokalne (czyli minimum lokalne lub maksimum lokalne) dotyczy pewnego otoczenia punktu (przedziału otwartego), w którym funkcja w żadnym punkcie nie przyjmuje wartości większych (maksimum) lub mniejszych (minimum). Ekstremum globalne to największa lub najmniejsza wartość funkcji w całej jej dziedzinie.
© medianauka.pl, 2009-05-13, ART-206
Inne zagadnienia z tej lekcji

Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.

Omówienie na przykładach pojęć takich jak: monotoniczność funkcji, funkcja rosnąca, malejąca, stała i inne

Funkcja jest okresowa, gdy spełniony jest warunek f(x)=f(x+T) i ...

Omówienie własności parzystości i nieparzystości funkcji.

Co to jest funkcja różnowartościowa?

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.