Pochodna a ekstremum funkcji
Pojęcie ekstremum zostało omówione w artykule Ekstremum funkcji. Tutaj zajmiemy się wykorzystaniem rachunku pochodnych do wyznaczania ekstremum funkcji. Opieramy się przy tym na następujących twierdzeniach:
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to .
Jest to warunek konieczny istnienia minimum lub maksimum funkcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Zobaczmy to na przykładzie:
Przykład

Dana jest funkcja , której wykres został przedstawiony obok.
Przyjrzyjmy się punktowi x0=0. Funkcja nie posiada w tym punkcie ani minimum, ani maksimum, natomiast gdy policzymy pochodną w tym punkcie:
to widać, że przyjmuje ona wartość zero.
Zatem nie wystarczy sprawdzić, czy pochodna w danym punkcie posiada pochodną równą zeru, aby stwierdzić, że funkcja ma minimum lub maksimum.
Natomiast z całą pewnością, jeżeli pochodna w danym punkcie lub przedziale ma pochodną różną od zera, to nie ma w nim ekstremum.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu x0, przy czym
1) dla ,
to w punkcie x0 funkcja posiada maksimum.
2) dla ,
to w punkcie x0 funkcja posiada minimum.
Mówiąc krótko:
Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja f(x) osiąga maksimum w tym punkcie.
Zobaczmy to na przykładzie:
Przykład

Dana jest funkcja , której wykres został przedstawiony obok. (Sam możesz sporządzić wykres tej funkcji, korzystając z tej symulacji)
Znajdziemy ekstrema tej funkcji, obliczając pochodną funkcji:
Ekstremum szukamy w punktach, gdzie pochodna przyjmuje wartość zero. Mamy więc:
Funkcja f(x) może mieć ekstremum tylko w punktach 2/3 i 2
Warto sporządzić tabelkę zmienności pochodnej funkcji:
Gdy sporządzimy wykres:

to widzimy, gdzie pochodna przyjmuje dodatnie wartości (kolor niebieski), a gdzie ujemne (kolor różowy).
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
+ | 0 | - | 0 | + |
W punkcie 2/3 funkcja ma więc maksimum, w punkcie 2 - minimum. Musimy je jeszcze obliczyć. Wystarczy policzyć wartość funkcji w tych punktach:
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pochodna funkcji a ekstremum
Zadanie - badanie ekstremum funckji
Znaleźć ekstremum funkcji .
Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji .
Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji .
Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji .
Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-1;1>.
Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie stycznej do krzywej

Styczna do krzywej y=f(x) w punkcie A(x0,f(x0)) określona jest równaniem: y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
Pochodna a monotoniczność funkcji

Aby sprawdzić czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w danym przedziale należy zbadać znak pochodnej.
© medianauka.pl, 2010-09-22, ART-931