Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Treść zadania:
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).
Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.
\(f'(x)=(2x-\frac{1}{x})'=(2x-x^{-1})'=2+x^{-2}=2+\frac{1}{x^2}\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:
\(f'(x)=0\)
\(2+\frac{1}{x^2}=0\)
\(2\cdot \frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\frac{2x^2+1}{x^2}=0\)
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:
\(2x^2+1=0\)
Mamy zwykłe równanie kwadratowe:
\(\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot 2=-8<0\)
Ponieważ współczynnik \(a\) jest dodatni, a wyróżnik trójmianu ujemny, ramiona paraboli są skierowane ku górze, wykres znajduje się nad osią OX. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Ponieważ pochodna funkcji w żadnym punkcie nie przyjmuje wartości równej zero, to funkcja nie ma w całej swojej dziedzinie ekstremum.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-23, ZAD-933
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).