Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji a ekstremum

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna

Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=2+\frac{1}{x^2}\\ f'(x)=0\\ 2+\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2+1}{x^2}=0\\ 2x^2+1=0\\ \Delta<0\\ a>0$
Funkcja nie posiada ekstremum

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=2x-\frac{1}{x}$

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

$f'(x)=(2x-\frac{1}{x})'=(2x-x^{-1})'=2+x^{-2}=2+\frac{1}{x^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ 2+\frac{1}{x^2}=0\\ 2\cdot \frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2+1}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

Mamy zwykłe równanie kwadratowe

$\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot 2=-8<0$

Ponieważ współczynnik a jest dodatni, a wyróżnik trójmianu ujemny, ramiona paraboli są skierowane ku górze, wykres znajduje się nad osią OX. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Ponieważ pochodna funkcji w żadnym punkcie nie przyjmuje wartości równej zero, to funkcja nie ma w całej swojej dziedzinie ekstremum.

Odpowiedź

Funkcja nie posiada ekstremum.

Zadania podobne

Zadanie - badanie ekstremum funckji
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.