Zadanie maturalne nr 12, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).
Rozwiązanie zadania
Zajmijmy się najpierw wyrażeniem \(81^{\log_3{x}}\) i przekształćmy je:
\(81^{\log_3{x}}=(3^4)^{\log_3{x}}= 3^{4\log_3{x}}= 3^{\log_3{x^4}}=x^4\)
Przekształcamy ułamek \(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\), korzystając z własności logarytmów:
\(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3} = \frac{2}{3}\log_2{3^{\frac{3}{2}}}\cdot \log_3{2} = \)
\(=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\log_2{3}\cdot \log_3{2} = \log_2{3}\cdot \log_3{2} =\)
\(=\log_2{3}\cdot \frac{\log_2{2}}{\log_2{3}} = \log_2{2} =1\)
Zatem \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x = x^4+x^2-6x\)
Obliczmy teraz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\).
Wyznaczamy pochodną funkcji:
\(f'(x)=4x^3+2x-6\)
Szukamy miejsc zerowych pochodnej:
\(4x^3+2x-6=0\)
\(4x^3+2x-4-2=0\)
\((4x^3-4)+(2x-2)=0\)
\(4(x^3-1)+2(x-1)=0\)
\(4(x-1)(x^2+x+1)+2(x-1)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+4)+2(x-1)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+4+2)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+6)=0\)
Zbadajmy trójmian \(4x^2+4x+6\):
\(\Delta=16-16\cdot6<0\)
Zatem równanie \((x-1)(4x^2+4x+6)=0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\).
Badamy znak pochodnej:
\(f'(x)>0 dla \(x>1\)\)
\(f'(x)<0\) dla \(x<1\), a pamiętając dziedzinę równania dla \(x\in (0,1)\).
Zatem funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((0,1]\) oraz jest rosnąca w przedziale \([1,+\infty)\).
Stąd dla \(x=1\) funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą równą \(f(1)=14+12−6∙1=−4\).
© medianauka.pl, 2023-07-22, ZAD-4948
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).
Zadanie nr 4.
Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).
Zadanie nr 7.
Oblicz:
a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)
b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:
A. \(\frac{3}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\frac{5}{2}\)
D. \(3\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Suma \(\log_8{16}+1 jest równa
A. \(3\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\log_8{17}\)
D. \(\frac{7}{3}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:
A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)
B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)
C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)
D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:
- \(4\)
- \(2\)
- \(2\log_3{2}\)
- \(\log_3{8}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa
A. \(6\log_{4}{10}\)
B. \(16\)
C. \(5\)
D. \(6\log_{4}{16}\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa
A. \(\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{11}{12}\)
D. 3
Zadanie nr 16 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2