Nauka » Matematyka » Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia

Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(5^{\log_{5}{\frac{1}{8}}})^{-1}}{\log_{5}{10^{2}}-\log_{5}{4}}=\frac{(\frac{1}{8})^{-1}}{\log_{5}{\frac{100}{4}}}= \\ =\frac{8}{\log_{5}{25}}=\frac{8}{2}=4$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podczas rozwiązywania zadania skorzystamy z własności logarytmów oraz potęg. Korzystamy więc najpierw z własności logarytmów (kolor niebieski):

$a^{log_{a}{b}}=b$

a następnie z własności działań na potęgach (obliczania zaznaczono kolorem żółtym):

$(a^m)^{n}=a^{m\cdot n}$

Mamy zatem w liczniku:

$\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(5^{\log_{5}{\frac{1}{8}}})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(\frac{1}{8})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}= \\ =\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$ tło

W mianowniku zastosujemy następujące wzory:

$n\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

oraz

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

Otrzymujemy wówczas:

$\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{10^2}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{\frac{100}{4}}}=\frac{8}{\log_{5}{25}}=\frac{8}{2}=4$ tło

Dokonaliśmy tutaj prostego obliczenia logarytmu: log₅25=2, bo 5²=25. Otrzymaliśmy tym samym wynik, będący rozwiązaniem zadania.

Odpowiedź

$\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=4$

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$
b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log₈16+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log₈17
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017
Liczba

jest równa

A. $log_2 \frac{9}{25}$
B. $log_2 \frac{3}{5}$
C. $log_2 \frac{9}{5}$
D. $log_2 \frac{6}{25}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018
Liczba 2log₃6-log₃4 jest równa:

4
2
2log₃2
log₃8

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2020

Liczba log₅√125 jest równa:

A. 2/3

B. 2

C. 3

D. 3/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.