Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia


Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Podczas rozwiązywania zadania skorzystamy z własności logarytmów oraz potęg. Korzystamy więc najpierw z własności logarytmów:

\(a^{log_{a}{b}}=b\)

Następnie z własności działań na potęgach:

\((a^m)^{n}=a^{m\cdot n}\)

Mamy zatem w liczniku:

\(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(5^{\log_{5}{\frac{1}{8}}})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{(\frac{1}{8})^{-1}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\)

\( =\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\)

W mianowniku zastosujemy następujące wzory:

\(\cdot\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}\)

oraz

\(\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}\)

Otrzymujemy wówczas:

\(\frac{8}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{10^2}-\log_{5}{4}}=\frac{8}{\log_{5}{\frac{100}{4}}}=\frac{8}{\log_{5}{25}}=\frac{8}{2}=4\)

Dokonaliśmy tutaj prostego obliczenia logarytmu: \(\log_{5}25=2\), bo \(5^2=25\). Otrzymaliśmy tym samym wynik, będący rozwiązaniem zadania.

ksiązki Odpowiedź

\(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2 \log_{5}{10}-\log_{5}{4}}=4\)

© medianauka.pl, 2009-12-02, ZAD-410

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia \(4^{1-\log_{2}{3}}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów

Oblicz:

a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)

b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)

c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:

A. \(\frac{3}{2}\)

B. \(2\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(3\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2014

Suma \(\log_8{16}+1 jest równa

A. \(3\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\log_8{17}\)

D. \(\frac{7}{3}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2017

Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:

A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)

B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)

C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)

D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 1, matura 2018

Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:

  1. \(4\)
  2. \(2\)
  3. \(2\log_3{2}\)
  4. \(\log_3{8}\)


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2020

Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(\frac{3}{2}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2021

Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2022

Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa

A. \(6\log_{4}{10}\)

B. \(16\)

C. \(5\)

D. \(6\log_{4}{16}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 1, matura 2022 - poziom rozszerzony

Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. 3



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa

A. 81

B. 9

C. 4

D. 2



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2023 - poziom rozszerzony

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).



Pokaż rozwiązanie zadania




©® Media Nauka 2008-2023 r.