Strona główna » Matematyka » Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}=\log_{4}{a}+\log_{a}{2^4}=\log_{4}{a}+\log_{a}{16}=$
$=\log_{4}{a}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\log_{4}{a}\cdot \frac{\log_{16}{a}}{\log_{16}{a}}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=$
$=\frac{\log_{4}{16}\cdot \log_{16}{a} \cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot 3^2+1}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ dany jest logarytm o podstawie 16, należy w jakiś sposób doprowadzić składniki sumy do logarytmów o takiej właśnie podstawie. Zrobimy to w kilku etapach. Najpierw skorzystamy z pewnej własności działań na logarytmach:

$n\cdot \log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}, \ a\neq 1 \ i \ a,b \in R_{+}, \ n\in R$

Mamy więc:

$\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}=\log_{4}{a}+\log_{a}{2^4}=\log_{4}{a}+\log_{a}{16}$ tło

Skorzystamy teraz z następującej własności logarytmu:

$\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}, \ a,b\neq 1 \ i \ a,b \in R_{+}$

Dzięki tej własności możemy zmienić podstawę logarytmu do żądanej wartości.

$\log_{4}{a}+\log_{a}{16}=\log_{4}{a}+\frac{1}{\log_{16}{a}}$ tło

Sprowadźmy teraz obie liczby do wspólnego mianownika.

$\log_{4}{a}\cdot 1+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\log_{4}{a}\cdot \frac{\log_{16}{a}}{\log_{16}{a}}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}$ tło

Zmienimy jeszcze podstawę logarytmy z 4 na 16, korzystając ze wzoru:

$\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}, \ a,c\neq 1 \ i \ a,b,c \in R_{+}$

Otrzymujemy:

$\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{16}\cdot \log_{16}{a} \cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}$ tło

Teraz możemy zastosować podstawienie. Wiemy na podstawie warunków, że $\log_{16}{a}=3$ , więc