Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów


Oblicz wartość wyrażenia: \log_{4}{a}+4\log_{a}{2} wiedząc, że \log_{16}{a}=3 i a>1.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}=\log_{4}{a}+\log_{a}{2^4}=\log_{4}{a}+\log_{a}{16}=
=\log_{4}{a}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\log_{4}{a}\cdot \frac{\log_{16}{a}}{\log_{16}{a}}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=
=\frac{\log_{4}{16}\cdot \log_{16}{a} \cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot 3^2+1}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ dany jest logarytm o podstawie 16, należy w jakiś sposób doprowadzić składniki sumy do logarytmów o takiej właśnie podstawie. Zrobimy to w kilku etapach. Najpierw skorzystamy z pewnej własności działań na logarytmach:

n\cdot \log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}, \ a\neq 1 \ i \ a,b \in R_{+}, \ n\in R

Mamy więc:

\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}=\log_{4}{a}+\log_{a}{2^4}=\log_{4}{a}+\log_{a}{16} tło tło

Skorzystamy teraz z następującej własności logarytmu:

\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}, \ a,b\neq 1 \ i \ a,b \in R_{+}

Dzięki tej własności możemy zmienić podstawę logarytmu do żądanej wartości.

\log_{4}{a}+\log_{a}{16}=\log_{4}{a}+\frac{1}{\log_{16}{a}} tło tło

Sprowadźmy teraz obie liczby do wspólnego mianownika.

\log_{4}{a}\cdot 1+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\log_{4}{a}\cdot \frac{\log_{16}{a}}{\log_{16}{a}}+\frac{1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}} tło tło

Zmienimy jeszcze podstawę logarytmy z 4 na 16, korzystając ze wzoru:

\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}, \ a,c\neq 1 \ i \ a,b,c \in R_{+}

Otrzymujemy:

\frac{\log_{4}{a}\cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{\log_{4}{16}\cdot \log_{16}{a} \cdot\log_{16}{a}+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}} tło tło

Teraz możemy zastosować podstawienie. Wiemy na podstawie warunków, że \log_{16}{a}=3, więc

\frac{2\cdot (\log_{16}{a})^2+1}{\log_{16}{a}}=\frac{2\cdot 3^2+1}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}

ksiązki Odpowiedź

\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}=6\frac{1}{3} dla \log_{16}{a}=3 i a>1

© medianauka.pl, 2009-12-04, ZAD-412





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.