Nauka » Matematyka » Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$
$W=\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$
$W=-\log_{3}{x}+\frac{1}{2}\log_{3}{x^2}+2\log_{3}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$
$W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{\sqrt{x^2}}+\log_{3}{(\sqrt{x})^2}-log_{3}{x}$

Dla x>0 mamy:

$W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{x}+\log_{3}{x}-\log_{3}{x}=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W przypadku sumy logarytmów lub ich różnicy istotne jest to, aby podstawy tych logarytmów były jednakowe. W naszym przypadku tak nie jest. Musimy więc zastosować własność logarytmów, która pozwoli nam zamienić podstawę logarytmu na inną. W naszym zadaniu w podstawach logarytmu pojawia się liczba 3 samodzielnie, w ułamku, kwadracie i pod pierwiastkiem. Zmieńmy zatem podstawy logarytmu na liczbę 3. korzystając ze wzoru (dla dodatnich wartości a,b i c oraz a i c różnych od 1):

$\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}$

Zamieńmy więc poszczególne składniki sumy wyrażenia W

$log_{\frac{1}{3}}{x}=\log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{x}=-1\cdot \log_{3}{x}=-\log_{3}{x}$ tło

Dla drugiego składnika sumy:

$\log_{9}{x^2}=\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x^2}=\frac{1}{2}\log_{3}{x^2}= \\ =\log_{3}{(x^2)^{\frac{1}{2}}}=\log_{3}{\sqrt{x^2}}=\log_{3}{x} \ dla \ x&gt0$ tło

Tutaj należy się kilka słów wyjaśnienia. Na niebiesko zaznaczono fragment, w którym wykorzystano następującą własność logarytmów:

$n\cdot \log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$

Zauważmy też, że gdyby nie warunek x>0, to mielibyśmy $\sqrt{x^2}=|x|$ , a tak możemy opuścić wartość bezwzględną. Ponadto $\log_{9}{3}=\frac{1}{2}$ , bo $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$

Dla trzeciego składnika sumy:

$\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\log_{\sqrt{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{x}}=2\log_{3}{\sqrt{x}}= \\ =\log_{3}{(\sqrt{x}})^2=\log_{3}{x} \ dla \ x&gt0$ tło

Wyjaśnijmy, że $\log_{\sqrt{3}}{3}=2$ , bo $(\sqrt{3})^2=3$

Możemy więc podstawić obliczone wartości składników sumy do naszego wyrażenia. Otrzymamy wówczas:

$W=-\log_{3}{x}+\log_{3}{x}+\log_{3}{x}-\log_{3}{x}=0$

Odpowiedź

W = 0

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia

Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów

Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów

Oblicz:

a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$

b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$

c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)

Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2

B. 2

C. 5/2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014

Suma log₈16+1 jest równa

A. 3

B. 3/2

C. log₈17

D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017

Liczba jest równa

A. $log_2 \frac{9}{25}$

B. $log_2 \frac{3}{5}$

C. $log_2 \frac{9}{5}$

D. $log_2 \frac{6}{25}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018

Liczba 2log₃6-log₃4 jest równa:

4
2
2log₃2
log₃8

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2020

Liczba log₅√125 jest równa:

A. 2/3

B. 2

C. 3

D. 3/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2021

Suma 2log√10 + log10³ jest równa

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.