Własności logarytmów

Bez poniższych własności logarytmów, logarytmowanie byłoby bardzo trudne. Przedstawione wzory wykorzystujemy często w analizie matematycznej. Działania na logarytmach są określone następującymi wzorami:

Teoria Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla a\in R_{+}\backslash \{1\} oraz b,c\in R_{+} prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:

Dowolny logarytm z 1 jest równy zeru.

\log_{a}1=0

Przykład Przykład

\log_{5}1=0\\ \log_{\frac{4}{7}}1=0\\ \log_{\sqrt{7}}1=0

\log_{a}a=1

Przykład Przykład

\log_{5}5=1\\ \log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\\ \log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1

Logarytm iloczynu

Wzór ten określa w jaki sposób realizujemy dodawanie logarytmów o tych samych podstawach. Suma logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi iloczynu liczb logarytmowanych.

\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c

Przykład Przykład

\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\\ \log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\\ \log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5

Logarytm ilorazu

Wzór ten określa w jaki sposób realizujemy odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach. Różnica logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi ilorazu liczb logarytmowanych.

\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c

Przykład Przykład

\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7

Logarytm potęgi

Dla n\in R:

\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b

Przykład Przykład

\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\\ \log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\\ \log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Wzór ten jest bardzo przydatny.

Dla c\neq 1:

\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Przykład Przykład

\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\\ \log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10

Jeżeli na przykład na naszym kalkulatorze nie ma funkcji logarytmowania przy dowolnej podstawie (na ogół tak jest), a jest dostępna funkcja ln (logarytm naturalny), to wzór ten umożliwia nam wykonanie obliczeń na kalkulatorze. Dla przykładu log27=ln7/ln2.

Kolejne wzory:

a^{\log_{a}b}=b

Przykład Przykład

3^{\log_{3}7}=7\\ \sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}

\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a

Przykład Przykład

\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\\ \log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}



© medianauka.pl, 2009-04-05, ART-180


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Własności logarytmów

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6} dla a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia 4^{1-\log_{2}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: \frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x} dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: \log_{4}{a}+4\log_{a}{2} wiedząc, że \log_{16}{a}=3 i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) \log_{5}{25\sqrt[3]{5}}
b) \log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}
c) \log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba \log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})} jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log816+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log817
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

LogarytmLogarytm
Logarytmem liczby x>0 przy podstawie a, gdzie a>0 i a≠1 nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.