Własności logarytmów

Bez poniższych własności logarytmów, logarytmowanie byłoby bardzo trudne. Przedstawione wzory wykorzystujemy często w analizie matematycznej. Działania na logarytmach są określone następującymi wzorami:

Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla $a\in R_{+}\backslash \{1\}$ oraz $b,c\in R_{+}$ prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:

Dowolny logarytm z 1 jest równy zeru.

$\log_{a}1=0$

Przykład

$\log_{5}1=0\\ \log_{\frac{4}{7}}1=0\\ \log_{\sqrt{7}}1=0$

$\log_{a}a=1$

Przykład

$\log_{5}5=1\\ \log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\\ \log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1$

Logarytm iloczynu

Wzór ten określa w jaki sposób realizujemy dodawanie logarytmów o tych samych podstawach. Suma logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi iloczynu liczb logarytmowanych.

$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c$

Przykład

$\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\\ \log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\\ \log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5$

Logarytm ilorazu

Wzór ten określa w jaki sposób realizujemy odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach. Różnica logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi ilorazu liczb logarytmowanych.

$\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$

Przykład

$\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7$

Logarytm potęgi

Dla $n\in R$ :

$\log_{a}b^n=n\cdot \log_{a}b$

Przykład

$\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\\ \log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\\ \log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Wzór ten jest bardzo przydatny.

Dla $c\neq 1$ :

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

Przykład

$\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\\ \log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$

Jeżeli na przykład na naszym kalkulatorze nie ma funkcji logarytmowania przy dowolnej podstawie (na ogół tak jest), a jest dostępna funkcja ln (logarytm naturalny), to wzór ten umożliwia nam wykonanie obliczeń na kalkulatorze. Dla przykładu log₂7=ln7/ln2.

Kolejne wzory:

$a^{\log_{a}b}=b$

Przykład

$3^{\log_{3}7}=7\\ \sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}$

$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a$

Przykład

$\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\\ \log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$
b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log₈16+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log₈17
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017
Liczba jest równa

A. $log_2 \frac{9}{25}$
B. $log_2 \frac{3}{5}$
C. $log_2 \frac{9}{5}$
D. $log_2 \frac{6}{25}$