Własności logarytmów
Bez poniższych własności logarytmów, logarytmowanie byłoby bardzo trudne. Przedstawione wzory wykorzystujemy często w analizie matematycznej
Z definicji logarytmu, a także z własności działań na potęgach dla \(a\in \mathbb{R}_{+}\backslash \{1\}\) oraz \(b,c\in \mathbb{R}_{+}\) prawdziwe są wszystkie poniższe zależności:
Dowolny logarytm z 1 jest równy zeru.
Przykłady
- \(\log_{5}1=0\)
- \( \log_{\frac{4}{7}}1=0\)
- \(\log_{\sqrt{7}}1=0\)
- \(\log_{5}5=1\)
- \(\log_{\frac{4}{7}}\frac{4}{7}=1\)
- \(\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=1\)
Działania na logarytmach
Działania na logarytmach są określone następującymi wzorami.
Dodawanie logarytmów
Wzór na logarytm iloczynu określa, w jaki sposób realizujemy dodawanie logarytmów o tych samych podstawach. Suma logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi iloczynu liczb logarytmowanych.
Przykłady
- \(\log_{2}(8\sqrt{2})=\log_{2}8+\log_{2}\sqrt{2}=3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\)
- \(\log_{2}24=\log_{2}(8\cdot 3)=\log_{2}8+\log_{2}3=3+\log_{2}3\)
- \(\log_{\sqrt{7}}(49\sqrt{7})=\log_{\sqrt{7}}49+\log_{\sqrt{7}}\sqrt{7}=4+1=5\)
Odejmowanie logarytmów
Wzór na logarytm ilorazu określa, w jaki sposób realizujemy odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach. Różnica logarytmów o jednakowych podstawach jest równa logarytmowi ilorazu liczb logarytmowanych.
Przykłady
- \(\log_{2}\frac{\sqrt{2}}{4}=\log_{2}\sqrt{2}-\log_{2}4=\frac{1}{2}-2=-1\frac{1}{2}\)
- \( \log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{7}=\log_{\frac{1}{2}}4-\log_{\frac{1}{2}}7=-2-\log_{\frac{1}{2}}7\)
Logarytm potęgi
Dla \(n\in \mathbb{R}\):
Przykłady
- \(\log_{2}2^8=8\cdot \log_{2}2=8\cdot 1=8\)
- \(\log_{2}\sqrt[5]{4}=\log_{2}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log_{2}4=\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}\)
- \(\log_{3}9^{\log_{2}\sqrt{2}}=\log_{2}\sqrt{2}\cdot \log_{3}9=\frac{1}{2}\cdot 2=1\)
Zmiana podstawy logarytmu
Wzór na zmianę podstawy logarytmu jest bardzo przydatny.
Dla \(c\neq 1\):
Przykłady
- \(\log_{\frac{1}{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{5}{-1}=-5\)
- \(\log_{\sqrt{2}}32=\frac{\log_{2}32}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10\)
Jeżeli na przykład na naszym kalkulatorze nie ma funkcji logarytmowania przy dowolnej podstawie (na ogół tak jest), a jest dostępna funkcja \(ln\) (logarytm naturalny), to wzór ten umożliwia nam wykonanie obliczeń na kalkulatorze. Dla przykładu \(\log_{2}7=\frac{\ln{7}}{\ln{2}}\).
Inne wzory
Kolejne wzory:
Przykłady
- \(3^{\log_{3}7}=7\)
- \(\sqrt{5}^{\log_{\sqrt{5}}\frac{5}{9}}=\frac{5}{9}\)
Przykłady
- \(\log_{3}7=\frac{1}{log_{7}3}\)
- \(\log_{2}\frac{4}{3}=\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}2}\)
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Suma \(\log_8{16}+1 jest równa
A. \(3\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\log_8{17}\)
D. \(\frac{7}{3}\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Zadanie nr 4 — maturalne.
Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa
A. \(\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{11}{12}\)
D. 3
Zadanie nr 5 — maturalne.
Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa
A. \(6\log_{4}{10}\)
B. \(16\)
C. \(5\)
D. \(6\log_{4}{16}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:
- \(4\)
- \(2\)
- \(2\log_3{2}\)
- \(\log_3{8}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:
A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)
B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)
C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)
D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:
A. \(\frac{3}{2}\)
B. \(2\)
C. \(\frac{5}{2}\)
D. \(3\)
Zadanie nr 11.
Oblicz:
a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)
b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)
Zadanie nr 12.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).
Zadanie nr 13.
Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).
Zadanie nr 14.
Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).
Zadanie nr 16.
Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
Logarytm
Logarytmy© medianauka.pl, 2009-04-05, A-180
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-25