Nauka » Matematyka » Własności logarytmów

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}$ dla $a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}$
$=\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}$
$=\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b}$
$=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to zadanie musimy skorzystać z różnych własności logarytmów. Oto pierwsza z nich:

$n\cdot {log_{a}{b}}=\log_{a}{b^n}$

Możemy zatem napisać (kolorem żółtym zaznaczono działania związane z powyższym wzorem):

$W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}$ tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy własność działań na potęgach:

$(a^n)^m=a^{m\cdot n}$

W kolejnym kroku skorzystamy z własności różnicy dwóch logarytmów:

$\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}$

Mamy więc

$W=\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}$ tło

W kolejnym kroku skorzystamy z własności sumy dwóch logarytmów:

$\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}$

Otrzymujemy więc:

$W=\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b}$ tło

Na końcu obliczeń (fragment zaznaczony na żółto) znów skorzystaliśmy z własności działań na logarytmach, przytoczonej na samym początku.
Zauważmy, że zredukowała się zmienna a i aby obliczyć wartość wyrażenia, wystarczy za b podstawić wartość liczbową.

$W=10\log{b}=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10$

Dlaczego log(1/10)=-1? Podstawą logarytmu jest liczba 10, a liczbą logarytmowaną jest 1/10. Pytamy więc, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać 1/10 i otrzymujemy odpowiedź: -1

Odpowiedź

W = -10

Zadania podobne

Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $4^{1-\log_{2}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: $\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}$ dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: $\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}$ wiedząc, że $\log_{16}{a}=3$ i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) $\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}$
b) $\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$
c) $\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba $\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}$ jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log₈16+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log₈17
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017
Liczba

jest równa

A. $log_2 \frac{9}{25}$
B. $log_2 \frac{3}{5}$
C. $log_2 \frac{9}{5}$
D. $log_2 \frac{6}{25}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018
Liczba 2log₃6-log₃4 jest równa:

4
2
2log₃2
log₃8

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2020

Liczba log₅√125 jest równa:

A. 2/3

B. 2

C. 3

D. 3/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.