Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6} dla a=\frac{7}{11} \ i \ b=\frac{1}{10}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}
=\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}
=\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b}
=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać to zadanie musimy skorzystać z różnych własności logarytmów. Oto pierwsza z nich:

n\cdot {log_{a}{b}}=\log_{a}{b^n}

Możemy zatem napisać (kolorem żółtym zaznaczono działania związane z powyższym wzorem):

W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}= \\ =\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6} tło tło tło tło tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy własność działań na potęgach:

(a^n)^m=a^{m\cdot n}

W kolejnym kroku skorzystamy z własności różnicy dwóch logarytmów:

\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}

Mamy więc

W=\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}= \\ =\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6} tło tło

W kolejnym kroku skorzystamy z własności sumy dwóch logarytmów:

\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}

Otrzymujemy więc:

W=\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}= \\ =\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}= \\ =\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}= \\ =\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b} tło tło tło tło

Na końcu obliczeń (fragment zaznaczony na żółto) znów skorzystaliśmy z własności działań na logarytmach, przytoczonej na samym początku.
Zauważmy, że zredukowała się zmienna a i aby obliczyć wartość wyrażenia, wystarczy za b podstawić wartość liczbową.

W=10\log{b}=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10

Dlaczego log(1/10)=-1? Podstawą logarytmu jest liczba 10, a liczbą logarytmowaną jest 1/10. Pytamy więc, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać 1/10 i otrzymujemy odpowiedź: -1


ksiązki Odpowiedź

W = -10

© medianauka.pl, 2009-12-01, ZAD-408





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów, oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia 4^{1-\log_{2}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz: \frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x} dla x>0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów - obliczanie logarytmów
Oblicz wartość wyrażenia: \log_{4}{a}+4\log_{a}{2} wiedząc, że \log_{16}{a}=3 i a>1.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - własności logarytmów
Oblicz:
a) \log_{5}{25\sqrt[3]{5}}
b) \log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}
c) \log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom podstawowy)
Liczba \log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})} jest równa:

A. 3/2
B. 2
C. 5/2
D. 3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2014
Suma log816+1 jest równa

A. 3
B. 3/2
C. log817
D. 7/3

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.