Nauka » Matematyka » Własności logarytmów Równanie wykładnicze

Zadanie - równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie:
a)

Rozwiązanie zadania uproszczone

Rozwiązanie dla podpunktu a)

$2^x=3 \\ 2^x=2^{log_{2}3} \\ x=log_{2}3$

Rozwiązanie dla podpunktu b)

$3^x=2 \\ 3^x=3^{log_{3}2} \\ x=log_{3}2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać oba równania musimy liczby po obu stronach równania doprowadzić do postaci potęg o równych podstawach. Aby to zrobić, możemy skorzystać z własności logarytmów.

$a^{log_{a}{b}}=b$

a) Rozwiązujemy równanie pierwsze:

Liczbę 3 możemy zatem przedsatwić jako odpowiednią potęgę liczby 2. Otrzymujemy zatem:

$2^x=2^{log_{2}3$

Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg, otrzymując jednocześnie rozwiązanie równania. Wartość log₂3 mozna już odczytać z tablic lub obliczyć za pomocą kalkulatora. Można też rozwiązanie pozostawic w takiej postaci.

$x=log_{2}3$

Z tablic matematycznych lub za pomocą kalkulatora albo arkusza kalkulacyjnego odczytujemy wartość tego logarytmu. Jest to w przybliżeniu 1,584962501.

b) W sposób analogiczny rozwiązujemy równanie drugie:

Liczbę 2 możemy zatem przedsatwić jako liczbę 3 podniesioną do odpowiedniej potęgi. Otrzymujemy zatem:

$3^x=3^{log_{3}2$

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x=log_{3}2$

Tym razem jest to w przybliżeniu 0,630929754.

Odpowiedź

a) Rozwiązaniem równania 2^x=3 jest liczba log₂3≈ 1,584962501
b) Rozwiązaniem równania 3^x=2 jest liczba log₃2≈ 0,630929754

Zadania podobne

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze $3^{\frac{1}{x}}=27^x$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze $8^{2x-4}=256$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze $4^x-2^{x+1}=-1$

Pokaż rozwiązanie zadania