Równanie wykładnicze

Twierdzenie o równości potęg.

Jeżeli $a>0,\quad{a}\neq{1},\quad{i}\quad{a^x}=a^y,\quad{to}\quad{}x=y$

Powyższe twierdzenie stanowi podstawę przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Równanie wykładnicze to takie równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.

Przykład

Przykłady równań wykładniczych:
$2^x=1\\(\frac{1}{7})^{2x^2-x}=7\\(\sqrt{2})^{-x}=2\\2^{2x}+2^x-1=0$

Jak rozwiązywać równania wykładnicze?

W niniejszym artykule zostaną przedstawione dwa sposoby rozwiązywania równań wykładniczych.

Sposób I

Na ogół rozwiązanie równania wykładniczego polega na doprowadzeniu po obu stronach równania do postaci potęg o równych podstawach. Wówczas na podstawie przytoczonego tutaj twierdzenia o równości potęg można przyrównać do siebie wykładniki tych potęg.

Przykład

Rozwiązać równanie
$2^{3x}=\frac{1}{2}$
Najpierw należy liczbę po prawej stronie równania przedstawić jako potęgę liczby 2.
$2^{3x}=2^{-1}$
Na podstawie twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg po obu stronach równania.
$3x=-1/:3\\x=-\frac{1}{3}$

Sposób II

Czasem w równaniu można zastosować podstawienie za występującą w nim potęgę. Rozwiązujemy więc równanie ze względu na nową zmienną, a na końcu, po ponownym podstawieniu, stosujemy metodę I rozwiązywania równań wykładniczych.

Przykład

Rozwiązać równanie:
$\frac{2^x+1}{2}=2^x$
Możemy tutaj zastosować podstawienie: t=2^x. Otrzymujemy równanie:
$\frac{t+1}{2}=t/\cdot{2}\\t+1=2t\\t=1$
Ponownie stosujemy podstawienie i rozwiązujemy dalej równanie za pomocą sposobu I:
$2^x=1\\2^x=2^0\\x=0$