Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Równanie wykładnicze

Twierdzenie Twierdzenie o równości potęg.

Jeżeli a>0,\quad{a}\neq{1},\quad{i}\quad{a^x}=a^y,\quad{to}\quad{}x=y

Powyższe twierdzenie stanowi podstawę przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Równanie wykładnicze to takie równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.


Przykład Przykład

Przykłady równań wykładniczych:
2^x=1\\(\frac{1}{7})^{2x^2-x}=7\\(\sqrt{2})^{-x}=2\\2^{2x}+2^x-1=0

Jak rozwiązywać równania wykładnicze?

Teoria W niniejszym artykule zostaną przedstawione dwa sposoby rozwiązywania równań wykładniczych.

Sposób I

Na ogół rozwiązanie równania wykładniczego polega na doprowadzeniu po obu stronach równania do postaci potęg o równych podstawach. Wówczas na podstawie przytoczonego tutaj twierdzenia o równości potęg można przyrównać do siebie wykładniki tych potęg.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie
2^{3x}=\frac{1}{2}
Najpierw należy liczbę po prawej stronie równania przedstawić jako potęgę liczby 2.
2^{3x}=2^{-1}
Na podstawie twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg po obu stronach równania.
3x=-1/:3\\x=-\frac{1}{3}

Sposób II

Czasem w równaniu można zastosować podstawienie za występującą w nim potęgę. Rozwiązujemy więc równanie ze względu na nową zmienną, a na końcu, po ponownym podstawieniu, stosujemy metodę I rozwiązywania równań wykładniczych.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie:
\frac{2^x+1}{2}=2^x
Możemy tutaj zastosować podstawienie: t=2x. Otrzymujemy równanie:
\frac{t+1}{2}=t/\cdot{2}\\t+1=2t\\t=1
Ponownie stosujemy podstawienie i rozwiązujemy dalej równanie za pomocą sposobu I:
2^x=1\\2^x=2^0\\x=0


© medianauka.pl, 2009-11-27, ART-399






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze 3^{\frac{1}{x}}=27^x

zadanie-ikonka Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze 8^{2x-4}=256

zadanie-ikonka Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

zadanie-ikonka Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze 4^x-2^{x+1}=-1

zadanie-ikonka Zadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.