Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.


Rozwiązać równanie wykładnicze 3^{\frac{1}{x}}=27^x

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}
\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0/:(-3)
x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0
\underline{x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x} tło tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.

\frac{1}{x}=3x \\ \frac{1}{x}-3x=0

Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika

\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

1-3x^2=0/:(-3) \\ x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 tło

Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:

x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}} \\ x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}

Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę \sqrt{\frac{1}{3}}:

\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}


ksiązki Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania:
x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-400

Zadania podobne

kulkaZadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze 8^{2x-4}=256

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze 4^x-2^{x+1}=-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Matematyka konkretna
BrainBox - Matematyka dla najmłodszych
Kalkulatory maukowe
50 wielkich idei które powinieneś znać
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.