Nauka » Matematyka » Równanie wykładnicze

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.

Rozwiązać równanie wykładnicze $3^{\frac{1}{x}}=27^x$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}$
$\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0/:(-3)$
$x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0$
$\underline{x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:

$3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}$ tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.

$\frac{1}{x}=3x \\ \frac{1}{x}-3x=0$

Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika

$\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0$

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):

$1-3x^2=0/:(-3) \\ x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0$ tło

Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:

$x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}} \\ x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}$

Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę $\sqrt{\frac{1}{3}}$ :

$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania:
$x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Zadania podobne

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze $8^{2x-4}=256$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze $4^x-2^{x+1}=-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie wykładnicze

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.