Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.

Rozwiązać równanie wykładnicze 3^{\frac{1}{x}}=27^x

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}
\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0/:(-3)
x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0
\underline{x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:

3^{\frac{1}{x}}=27^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x \\ 3^{\frac{1}{x}}=3^{3x} tło tło

W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.

\frac{1}{x}=3x \\ \frac{1}{x}-3x=0

Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika

\frac{1}{x}-3x=0 \\ \frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0 \\ \frac{1-3x^2}{x}=0

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

1-3x^2=0/:(-3) \\ x^2-\frac{1}{3}=0 \\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 tło

Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:

x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}} \\ x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}

Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę \sqrt{\frac{1}{3}}:

\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}


ksiązki Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania:
x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-400





Zadania podobne

kulkaZadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiąż równanie wykładnicze.
Rozwiązać równanie wykładnicze 8^{2x-4}=256

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie wykładnicze (\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze metodą podstawienia
Rozwiązać równanie wykładnicze 4^x-2^{x+1}=-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie wykładnicze
Rozwiązać równanie:
a) 2^x=3
b) 2^x=3

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.