Równanie wykładnicze

Co to jest równanie wykładnicze?

Równanie wykładnicze to takie równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku potęgi.

Twierdzenie o równości potęg

Jeżeli \(a>0, a\neq 1\) i \(a^x=a^y\), to \(x=y\)

Powyższe twierdzenie stanowi podstawę przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Przykłady

Przykłady równań wykładniczych:

\(2^x=1\)
\((\frac{1}{7})^{2x^2-x}=7\)
\((\sqrt{2})^{-x}=2\)
\(2^{2x}+2^x-1=0\)

Jak rozwiązywać równania wykładnicze?

W niniejszym artykule zostaną przedstawione dwa sposoby rozwiązywania równań wykładniczych.

Sposób I

Na ogół rozwiązanie równania wykładniczego polega na doprowadzeniu po obu stronach równania do postaci potęg o równych podstawach. Wówczas na podstawie przytoczonego tutaj twierdzenia o równości potęg można przyrównać do siebie wykładniki tych potęg.

Przykład

Rozwiązać równanie \(2^{3x}=\frac{1}{2}\).

Najpierw należy liczbę po prawej stronie równania przedstawić jako potęgę liczby 2.

\(2^{3x}=2^{-1}\)

Na podstawie twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg po obu stronach równania.

\(3x=-1/:3\)

\(x=-\frac{1}{3}\)

Sposób II

Czasem w równaniu można zastosować podstawienie za występującą w nim potęgę. Rozwiązujemy więc wtedy równanie ze względu na nową zmienną, a na końcu, po ponownym podstawieniu, stosujemy metodę I rozwiązywania równań wykładniczych.

Przykład

Rozwiązać równanie:

\(\frac{2^x+1}{2}=2^x\)

Możemy tutaj zastosować podstawienie: \(t=2^x\). Otrzymujemy równanie:

\(\frac{t+1}{2}=t/\cdot{2}\)

\(t+1=2t\)

\(t=1\)

Ponownie stosujemy podstawienie i rozwiązujemy dalej równanie za pomocą sposobu I:

\(2^x=1\)

\(2^x=2^0\)

\(x=0\)

W kolejnym artykule pokażemy jak rozwiązywać nierówności wykładnicze oraz równania logarytmiczne.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.