Równania logarytmiczne

Oto proste równania logarytmiczne:

• \(\log_{x}{5}=3\)
• \(\log_{5}{x}=3\)
• \(\log_{\frac{x}{2}}{x}=2\)

Rozwiąż równanie logarytmiczne \(\log_{x}{9}=2\).

Określmy dziedzinę równania. Z definicji logarytmu wiemy, że podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek:

\(\begin{cases}x>0\\x\neq{1}\end{cases}\)

Teraz skorzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu:

\(\log_{x}{9}=2\Leftrightarrow{x^2=9}\)

Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe.

\(x^2=9\)

\(x^2-9=0\)

\((x-3)(x+3)=0\)

\(x_1=-3,x_2=3\)

Sprawdzamy teraz, czy rozwiązania należą do dziedziny równania. W tym przypadku tylko drugi pierwiastek spełnia warunki dziedziny.

Odpowiedź: \(x=3\).

Rozwiąż równanie logarytmiczne:

\(\frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}\)

Równanie (logarytm) ma sens dla dodatnich wartości \(x\). Ponadto logarytm w mianowniku musi być różny od zera, co jest spełnione dla \(x\neq 1\). Zatem dziedziną tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich bez jedności..

W powyższym równaniu zastosujemy podstawienie \(t=\log_{2}{x}, t\neq 0\).

\(\frac{1}{t}=t\)

\(\frac{1}{t}-t=0\)

\(\frac{1-t^2}{t}=0\)

\(1-t^2=0 | \cdot(-1)\)

\(t^2-1=0\)

\((t-1)(t+1)=0\)

\(t_1=1,\quad{}t_2=-1\)

Za zmienną \(t\) podstawiamy \(\log_{2}{x}\).

Mamy więc:

\(\log_{2}{x_1}=1,\quad{}\log_{2}{x_2}=-1\)

Korzystamy teraz z definicji logarytmu i otrzymujemy:

\(2^1=x_1,\quad{}2^{-1}=x_2\)

\(x_1=2,\quad{}x_2=\frac{1}{2}\)

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania, są więc rozwiązaniem równania \(\frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}\).

W osobnym artykule pokazujemy jak rozwiązujemy nierówności logarytmiczne oraz równania wykładnicze.