Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Równanie logarytmiczne

Teoria Równanie logarytmiczne to takie równanie, w którym niewiadoma jest w podstawie logarytmu lub pod znakiem logarytmu.

Przykład Przykład

Poniżej kilka przykładów równań logarytmicznych.

\log_{x}{5}=3\\{\log_{5}{x}=3}\\{\log_{\frac{x}{2}}{x}=2}

Teoria Rozwiązywanie równań logarytmicznych wymaga najpierw określenia dziedziny równania, czyli wszystkich wartości x, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Rozwiązań szukamy w tym właśnie zbiorze. Można stosować co najmniej kilka metod rozwiązywania równań logarytmicznych. Tutaj zostaną przedstawione dwie najczęściej stosowane.

Rozwiązywanie równań logarytmicznych na podstawie definicji logarytmu

Metodę najlepiej przedstawić na przykładzie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie \log_{x}{9}=2.

Określmy dziedzinę równania. Z definicji logarytmu wiemy, że podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek:
\begin{cases}x>0\\x\neq{1}\end{cases}
Teraz skorzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu:

\log_{x}{9}=2\Leftrightarrow{x^2=9}
Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe.
x^2=9\\x^2-9=0\\(x-3)(x+3)=0\\x_1=-3,x_2=3
Sprawdzamy teraz, czy rozwiązania należą do dziedziny równania. W tym przypadku tylko drugi pierwiastek spełnia równanie.

Odpowiedź: x=3

Metoda podstawienia

Jeżeli w równaniu powtarza się ten sam logarytm, można go zastąpić nową zmienną i rozwiązać równanie względem tej zmiennej.

Przykład Przykład

Rozwiązać równanie \frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}.

Równanie(logarytm) ma sens dla dodatnich wartości x - jest to nasza dziedzina równania. W powyższym równaniu zastosujemy podstawienie t=\log_{2}{x}.
\frac{1}{t}=t\\{\frac{1}{t}-t=0}\\{\frac{1-t^2}{t}=0}\\{1-t^2=0/\cdot(-1)}\\t^2-1=0\\(t-1)(t+1)=0
t_1=1,\quad{}t_2=-1

Za zmienną t podstawiamy \log_{2}{x}
Mamy więc:
\log_{2}{x_1}=1,\quad{}\log_{2}{x_2}=-1
Korzystamy teraz z definicji logarytmu i otrzymujemy:
2^1=x_1,\quad{}2^{-1}=x_2\\x_1=2,\quad{}x_2=\frac{1}{2}

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania, są więc rozwiązaniem równania \frac{1}{\log_{2}{x}}=\log_{2}{x}.


© medianauka.pl, 2009-12-10, ART-424






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=2

zadanie-ikonka Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{x}=1

zadanie-ikonka Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{x}{3x}=3

zadanie-ikonka Zadanie - rozwiązać równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie \log_{2}{(\log_{3}{x})}=0

zadanie-ikonka Zadanie - rozwiąż równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2

zadanie-ikonka Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2

zadanie-ikonka Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie logarytmiczne
Rozwiązać równanie logarytmiczne \frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.