Równanie kwadratowe
Definicja
Równanie w postaci

gdzie , b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.
Przykład
Kilka przykładów równań kwadratowych:
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków) równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

Mamy trzy możliwości:
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (pierwiastki równania kwadratowego):
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Powyższe wzory będą wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości równań kwadratowych.
Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych
Nasz kalkulator spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax2+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie swoje równanie kwadratowe podaj współczynniki a,b i c:
Wpisz dane:x2+ x + = 0
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
- Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów
Przykłady
Zadanie
Rozwiązać równanie:
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
Odpowiedź: Zadanie
Rozwiązać równanie
Mamy:
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
Odpowiedź: Zadanie
Rozwiąż równanie kwadratowe
Mamy
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 4.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby
Zadanie nr 5.
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość
A. prawdziwa dla x =

B. prawdziwa dla x = -

C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.
Zadanie nr 11.
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209Inne zagadnienia z tej lekcji
Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.
Równanie dwukwadratowe

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.
Równanie kwadratowe z parametrem

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.
© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-271