Równanie kwadratowe
Definicja
Równanie w postaci

gdzie , b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.
Przykład
Kilka przykładów równań kwadratowych:
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków) równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

Mamy trzy możliwości:
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (pierwiastki równania kwadratowego):
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):
- Jeżeli
, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Powyższe wzory będą wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości równań kwadratowych.
Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych
Nasz kalkulator spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax2+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie swoje równanie kwadratowe podaj współczynniki a,b i c:
Wpisz dane:x2+ x + = 0
Objaśnienia:
- Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
- Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
- Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
- Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów
Przykłady
Zadanie
Rozwiązać równanie:
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
Odpowiedź: Zadanie
Rozwiązać równanie
Mamy:
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
Odpowiedź: Zadanie
Rozwiąż równanie kwadratowe
Mamy
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.
© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-271
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równanie kwadratowe
Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)
b)
c)
Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)
b)
Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby
Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?
Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie
Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie
Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość jest:
A. prawdziwa dla x =
B. prawdziwa dla x = -
C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x
Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209
Inne zagadnienia z tej lekcji

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.