Równanie kwadratowe

Definicja

Równanie w postaci

gdzie $a\neq{0}$ , b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Przykład

Kilka przykładów równań kwadratowych:

$-x^2-x+5=0\\5x^2+5=0\\-4x^2-5x=0$

Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków)równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

$\Delta=b^2-4ac$

Mamy trzy możliwości:

Jeżeli $\Delta>0$ , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Jeżeli $\Delta=0$ , to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):

$x_0=-\frac{b}{2a}$
Jeżeli $\Delta<0$ , to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasz robot spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax²+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie podaj współczynniki a,b i c:

Wpisz dane:

x²+ x + = 0

Rozwiązujemy równanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów

Zadanie

Rozwiązać równanie:
$x^2+3x-4=0\\a=1\\b=3\\c=-4$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot{(-4)}=9+16=25$
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
$\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1$

Odpowiedź: $x_1=-4,\quad{x_2=1}$

Zadanie

Rozwiązać równanie

Mamy:
$a=-1\\b=6\\c=-9$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot{(-1)}\cdot{(-9)}=36-36=0$
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3$

Odpowiedź:

Zadanie

Rozwiązać równanie

Mamy
$a=1\\b=0\\c=3$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot{1}\cdot{3}=-12$
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.