Równanie kwadratowe

Definicja

Równanie w postaci

gdzie $a\neq{0}$ , b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Przykład

Kilka przykładów równań kwadratowych:

$-x^2-x+5=0\\5x^2+5=0\\-4x^2-5x=0$

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków) równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

$\Delta=b^2-4ac$

Mamy trzy możliwości:

Jeżeli $\Delta>0$ , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (pierwiastki równania kwadratowego):

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Jeżeli $\Delta=0$ , to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):

$x_0=-\frac{b}{2a}$
Jeżeli $\Delta<0$ , to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Powyższe wzory będą wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości równań kwadratowych.

Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasz kalkulator spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax²+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie swoje równanie kwadratowe podaj współczynniki a,b i c:

Wpisz dane:

x²+ x + = 0

Rozwiązujemy równanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Inne kalkulatory:
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów

Przykłady

Zadanie

Rozwiązać równanie:
$x^2+3x-4=0\\a=1\\b=3\\c=-4$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot{(-4)}=9+16=25$
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
$\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1$

Odpowiedź: $x_1=-4,\quad{x_2=1}$

Zadanie

Rozwiązać równanie

Mamy:
$a=-1\\b=6\\c=-9$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot{(-1)}\cdot{(-9)}=36-36=0$
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3$

Odpowiedź:

Zadanie

Rozwiąż równanie kwadratowe

Mamy
$a=1\\b=0\\c=3$
Obliczamy wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot{1}\cdot{3}=-12$
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie:
a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość $(x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2$ jest:

A. prawdziwa dla x =

B. prawdziwa dla x = -

C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.

Równanie dwukwadratowe

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.

Równanie kwadratowe z parametrem

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.