Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Równanie kwadratowe

Definicja Definicja

Równanie w postaci

ax^2+bx+c=0

gdzie a\neq{0}, b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Przykład Przykład

Kilka przykładów równań kwadratowych:

-x^2-x+5=0\\5x^2+5=0\\-4x^2-5x=0

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Teoria Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków) równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

\Delta=b^2-4ac

Mamy trzy możliwości:

  • Jeżeli \Delta>0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (pierwiastki równania kwadratowego):

    x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Jeżeli \Delta=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):

    x_0=-\frac{b}{2a}
  • Jeżeli \Delta<0, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Powyższe wzory będą wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości równań kwadratowych.

Kalkulator
Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasz kalkulator spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax2+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie swoje równanie kwadratowe podaj współczynniki a,b i c: 

Wpisz dane:

x2+ x + = 0



Rozwiązujemy równanie:

 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Inne kalkulatory:
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów

Przykłady

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie:
x^2+3x-4=0\\a=1\\b=3\\c=-4
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot{(-4)}=9+16=25
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1

Odpowiedź: x_1=-4,\quad{x_2=1}


zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie -x^2+6x-9=0

Mamy:
a=-1\\b=6\\c=-9
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot{(-1)}\cdot{(-9)}=36-36=0
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3

Odpowiedź: x_0=3


zadanie Zadanie

Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+3=0

Mamy
a=1\\b=0\\c=3
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot{1}\cdot{3}=-12
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.


© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-271







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Równanie kwadratowe

zadanie-ikonka Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Wzory Viete'aWzory Viete'a
Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.
Równanie dwukwadratoweRównanie dwukwadratowe
Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.
Równanie kwadratowe z parametremRównanie kwadratowe z parametrem
Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.



© Media Nauka 2008-2018 r.