Równanie kwadratowe

Definicja Definicja

Równanie w postaci

ax^2+bx+c=0

gdzie a\neq{0}, b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.

Przykład Przykład

Kilka przykładów równań kwadratowych:

-x^2-x+5=0\\5x^2+5=0\\-4x^2-5x=0

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Teoria Ponieważ równanie kwadratowe to nic innego jak trójmian kwadratowy przyrównany do zera, dyskusja liczby rozwiązań (pierwiastków) równania sprowadza się do dyskusji liczby punktów zerowych funkcji kwadratowej. Zatem w zależności od wyróżnika:

\Delta=b^2-4ac

Mamy trzy możliwości:

  • Jeżeli \Delta>0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (pierwiastki równania kwadratowego):

    x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Jeżeli \Delta=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (zwany podwójnym):

    x_0=-\frac{b}{2a}
  • Jeżeli \Delta<0, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Powyższe wzory będą wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości równań kwadratowych.

Kalkulator
Kalkulator - Rozwiązywanie równań kwadratowych

Nasz kalkulator spróbuje rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w postaci ax2+bx+c=0. Aby rozwiązać równanie swoje równanie kwadratowe podaj współczynniki a,b i c: 

Wpisz dane:

x2+ x + = 0



Rozwiązujemy równanie:

 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
  • Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.
Inne kalkulatory:
Rozwiąż układ równań liniowych metodą wyznaczników
Wykaz wszystkich kalkulatorów

Przykłady

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie:
x^2+3x-4=0\\a=1\\b=3\\c=-4
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot{(-4)}=9+16=25
Wyróżnik jest większy od zera, więc równanie ma dwa pierwiastki.
\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1

Odpowiedź: x_1=-4,\quad{x_2=1}


zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie -x^2+6x-9=0

Mamy:
a=-1\\b=6\\c=-9
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot{(-1)}\cdot{(-9)}=36-36=0
Wyróżnik jest równy zero, więc równanie ma jeden podwójny pierwiastek.
x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3

Odpowiedź: x_0=3


zadanie Zadanie

Rozwiąż równanie kwadratowe x^2+3=0

Mamy
a=1\\b=0\\c=3
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot{1}\cdot{3}=-12
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość (x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2 jest:

A. prawdziwa dla x = sqrt{2}
B. prawdziwa dla x = -sqrt{2}
C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania.



Inne zagadnienia z tej lekcji

Wzory Viete'a

Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a: x_1+x_2=-\frac{b {a} x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}.

Równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe

Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.

Równanie kwadratowe z parametrem

Równanie kwadratowe z parametrem

Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-07-20, ART-271



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.