Nauka » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych

Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1-2x\neq 0 \\ -2x\neq -1/:(-2) \\ x\neq \frac{1}{2} \\ 4x+1\neq 0 \\ 4x\neq -1/:4 \\ x\neq -\frac{1}{4} \\ DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace$

$\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\\ \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\\ \frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ -24x^2+4x+7=0$

$\Delta=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{16\cdot 43}=4\sqrt{43}$
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Warto na początku określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości x, dla których równanie ma sens matematyczny.

$1-2x\neq 0 \\ -2x\neq -1/:(-2) \\ x\neq \frac{1}{2} \\ 4x+1\neq 0 \\ 4x\neq -1/:4 \\ x\neq -\frac{1}{4} \\ DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace$

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: (1-2x)(4x+1)

$\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\\ \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\\ \frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ \frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0 \\ -24x^2+4x+7=0$

W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci.

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

$a=-24\\ b=4\\ c=7$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688$

Aby znaleźć pierwiastek liczby 688 rozkładamy ją na czynniki:

$\begin{tabular}{c|c} 688 & 2 \\ 344 & 2 \\ 172 & 2 \\ 86 & 2 \\ 43 & 43 \\ 1 \end{tabular}$

$688=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 43=2^2\cdot 2^2\cdot 43 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 43}=2\cdot 2\cdot \sqrt{43} =4\sqrt{43}$

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}$

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.

Odpowiedź

$x_1=\frac{1-\sqrt{43}}{12}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{43}}{12}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość $(x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2$ jest:

A. prawdziwa dla x =

B. prawdziwa dla x = -

C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 23, matura 2021

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.