Nauka » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a^2=2\\ a^2-2=0 \\ (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})=0\\ \underline{x_1=\sqrt{2}}, \ x_2=-\sqrt{2}<0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pole kwadratu o boku długości a obliczamy ze wzoru:

Z treści zadania wynika, że pole kwadratu jest równe 2. Mamy więc równanie:

$a^2=2\\ a^2-2=0$

Możemy teraz rozwiązać zadanie na dwa sposoby:

Sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, wprowadzając dla współczynników trójmianu kwadratowego w oznaczeniu indeks, gdyż zmienną w naszym przypadku jest litera a, która zwykle oznacza współczynnik przy zmiennej podniesionej do kwadratu.

$a^2-2 \\ a_d=1\\ b_d=0\\ c_d=-2 \\ \Delta=b_d^2-4a_dc_d=0^2-4\cdot 1\cdot (-2)=8 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Wyróżnik trójmianu jest dodatni, więc trójmian ma dwa pierwiastki:

$a_1=\frac{-b_d-\sqrt{\Delta}}{2a_d}=\frac{-0-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\\ a_2=\frac{-b_d+\sqrt{\Delta}}{2a_d}=\frac{-0+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Ponieważ pierwszy pierwiastek jest ujemny, a długość boku kwadratu musi być liczbą dodatnią, za rozwiązanie przyjmujemy wartość drugiego pierwiastka.

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Nasze równanie przyjmuje postać:

$a^2-2=0 \\ (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})=0$

Mamy więc dwa pierwiastki równania:

$a_1=\sqrt{2}, \ a_2=-\sqrt{2}$

z których pod uwagę bierzemy tylko wartość dodatnią, gdyż szukamy długości boku.

Odpowiedź

Długość boku kwadratu jest równa $a=\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość $(x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2$ jest:

A. prawdziwa dla x =

B. prawdziwa dla x = -

C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 23, matura 2021

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.