Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie kwadratowe


Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\\ a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\\ ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\\ ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy tutaj z własności trójmianu kwadratowego, a w szczególności z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

y=a(x-x_1)(x-x_2)

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera, x1, x2 - pierwiastki trójmianu.

Równanie kwadratowe ax2+bx+c=0 można przedstawić w postaci iloczynowej:

a(x-x_1)(x-x_2)=0

gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (lub równy zero). W treści zadania mamy już jednak podane pierwiastki równania, możemy więc napisać

a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0

Liczba a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. Doprowadzimy jeszcze powyższe równanie do postaci: ax2+bx+c=0, mnożąc przez siebie liczby w nawiasach.

a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\\ a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\\ ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\\ ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0

Otrzymaliśmy w ten sposób wzór ogólny reprezentujący dowolne równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}. Wystarczy teraz podstawić za a dowolną liczbę, aby uzyskać konkretne równanie kwadratowe.

ksiązki Odpowiedź

ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0

© medianauka.pl, 2010-02-12, ZAD-601


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.