Zadanie - równanie kwadratowe

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy tutaj z własności trójmianu kwadratowego, a w szczególności z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

Oznaczenia: \(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera, \(x_1, x_2\) to pierwiastki trójmianu.

Równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\) można przedstawić w postaci iloczynowej:

Gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (lub równy zero). W treści zadania mamy już jednak podane pierwiastki równania, możemy więc napisać:

\(a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\)

Liczba a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. Doprowadzimy jeszcze powyższe równanie do postaci: \(ax^2+bx+c=0\), mnożąc przez siebie liczby w nawiasach.

\(a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\)

\(a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\)

\(ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\)

\(ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\)

Otrzymaliśmy w ten sposób wzór ogólny reprezentujący dowolne równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2},\ \frac{1}{2}\). Wystarczy teraz podstawić za a dowolną liczbę, aby uzyskać konkretne równanie kwadratowe.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-02-12, ZAD-601

Zadania podobne

Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) \(x^2+4x-5=0\)

b) \(x^2-22x+121=0\)

c) \(x^2+2x+7=0\)

Rozwiązać równanie:

a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)

b) \(x^2-10x-119=0\)

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest

A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)

B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)

C. prawdziwa dla \(x=-1\)

D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.