Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - równanie kwadratowe

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\\ a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\\ ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\\ ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy tutaj z własności trójmianu kwadratowego, a w szczególności z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera, x₁, x₂ - pierwiastki trójmianu.

Równanie kwadratowe ax²+bx+c=0 można przedstawić w postaci iloczynowej:

gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (lub równy zero). W treści zadania mamy już jednak podane pierwiastki równania, możemy więc napisać

$a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0$

Liczba a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. Doprowadzimy jeszcze powyższe równanie do postaci: ax²+bx+c=0, mnożąc przez siebie liczby w nawiasach.

$a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\\ a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\\ ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\\ ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0$

Otrzymaliśmy w ten sposób wzór ogólny reprezentujący dowolne równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$ . Wystarczy teraz podstawić za a dowolną liczbę, aby uzyskać konkretne równanie kwadratowe.