Nauka » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

Dla $x\geq 0$

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2-x+1-2=0 \\ 2x^2-x-1=0 \\ \Delta=1+8=9 \\ x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=1$
Liczba -1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania.

Dla

:

$2x^2-|x|+1=2\\ 2x^2+x-1=0 \\ \Delta=9 \\ x_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=-1 \\ x_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{1}{2}$
Liczba 1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku (x< 0), więc nie jest rozwiązaniem równania.
Rozwiązaniem równania

są liczby 1 i -1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla $x\geq 0$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki.:

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2-x+1=2 \\ 2x^2-x+1-2=0 \\ 2x^2-x-1=0 \\ a=2 \\ b=-1 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1$

Liczba -1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba 1.

Przypadek 2

Dla x<0 możemy opuścić wartość bezwzględną przy zmianie znaku wartości logarytmowanej. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki.:

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2+x+1=2 \\ 2x^2+x-1=0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Liczba 1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku (x< 0), więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba -1.

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania

są liczby 1 i -1.

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania