Strona główna » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

Dla $x\geq 0$

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2-x+1-2=0 \\ 2x^2-x-1=0 \\ \Delta=1+8=9 \\ x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=-\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=1$
Liczba -1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania.

Dla

:

$2x^2-|x|+1=2\\ 2x^2+x-1=0 \\ \Delta=9 \\ x_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=-1 \\ x_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{1}{2}$
Liczba 1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku (x< 0), więc nie jest rozwiązaniem równania.
Rozwiązaniem równania

są liczby 1 i -1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla $x\geq 0$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki.:

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2-x+1=2 \\ 2x^2-x+1-2=0 \\ 2x^2-x-1=0 \\ a=2 \\ b=-1 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1$

Liczba -1/2 nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba 1.

Przypadek 2

Dla x<0 możemy opuścić wartość bezwzględną przy zmianie znaku wartości logarytmowanej. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki.:

$2x^2-|x|+1=2 \\ 2x^2+x+1=2 \\ 2x^2+x-1=0 \\ a=2 \\ b=1 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$