Zadanie - ciąg arytmetyczny


Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209
S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0
a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20
x=20

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy r=1. Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Wypiszemy wszystkie dane:

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209

Ostatni wyraz ciągu an, to x, natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to x-1. Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli x-1.

Wstawiamy dane do wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20

Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:

ksiązki Odpowiedź

x=20

© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-498

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość (x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2 jest:

A. prawdziwa dla x = sqrt{2}
B. prawdziwa dla x = -sqrt{2}
C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 23, matura 2021

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.