Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny Równanie kwadratowe

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209$
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0$
$a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy r=1. Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Wypiszemy wszystkie dane:

$a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209$

Ostatni wyraz ciągu a_n, to x, natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to x-1. Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli x-1.

Wstawiamy dane do wzoru:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

$a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20$

Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2017 (poziom podstawowy)
Równość $(x\sqrt{2} - 2)^2 = (sqrt{2} + 2)^2$ jest:

A. prawdziwa dla x =

B. prawdziwa dla x = -

C. prawdziwa dla x = -1
D. fałszywa dla każdej liczby x

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 23, matura 2021

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.