Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209
S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0
a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20
x=20

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy r=1. Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Wypiszemy wszystkie dane:

a_1=2 \\ a_n=x \\ n=x-1 \\ S_n=209

Ostatni wyraz ciągu an, to x, natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to x-1. Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli x-1.

Wstawiamy dane do wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ 209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2 \\ 418=(x+2)(x-1) \\ 418=x^2-x+2x-2 \\ -x^2-x+418+2=0/\cdot (-1) \\ x^2+x-420=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

a=1 \\ b=1 \\ c=-420 \\ \Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681 \\ \sqrt{\Delta}=41\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20

Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:

ksiązki Odpowiedź

x=20

© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-498





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie 2x^2-|x|+1=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2+4x-5=0
b) x^2-22x+121=0
c) x^2+2x+7=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Rozwiązać równanie:
a) x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0
b) x^2-10x-119=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \sqrt{2}, \ \frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Zastosowanie równań kwadratowych
Rozwiązać równanie \frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.