Zadanie - ciąg arytmetyczny

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=1\). Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Wypiszemy wszystkie dane:

\(a_1=2\)

\(a_n=x\)

\(n=x-1\)

\(S_n=209\)

Ostatni wyraz ciągu \(a_n\), to \(x\), natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to \(x-1\). Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli \(x-1\).

Wstawiamy dane do wzoru:

\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\)

\(209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2\)

\(418=(x+2)(x-1)\)

\(418=x^2-x+2x-2\)

\(-x^2-x+418+2=0/\cdot (-1)\)

\(x^2+x-420=0\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

\(a=1,\ b=1,\ c=-420\)

\(\Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681\)

\(\sqrt{\Delta}=41\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20\)

Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:

ksiązki Odpowiedź

\(x=20\)

© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-498

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) \(x^2+4x-5=0\)

b) \(x^2-22x+121=0\)

c) \(x^2+2x+7=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie:

a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)

b) \(x^2-10x-119=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest

A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)

B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)

C. prawdziwa dla \(x=-1\)

D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.