Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}$
$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const$
Różnica ciągu jest stała, więc wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym musimy sprawdzić czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu a_n+1-a_n jest wartością stałą. Najpierw jednak trzeba znaleźć wyraz n+1. Nie jest to trudne, gdyż mamy jawnie zapisany wzór na n-ty wyraz ciągu. W więc do wzoru na n-ty wyraz ciągu podstawić n+1:

$a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}$ tło

Badamy różnicę ciągu:

$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const$

Różnica ciągu jest stała (nie zależy od n), więc tym samym wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby lepiej zrozumieć to zadanie przyjrzyj się prostym przykładom.

1) Ciąg 1,2,3,4,5,... jest ciągiem arytmetycznym, gdyż zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest taka sama: 2-1=3-2=4-3=a_{n_1}-a_n=1=constans

2) Ciąg 12,23,34,45,... jest ciągiem arytmetycznym, bo zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: 23-12=34-23=45-34=a_{n_1}-a_n=11=constans

Podobne rozumowanie zastosowaliśmy w rozwiązaniu niniejszego zadania.