Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}
a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const
Różnica ciągu jest stała, więc wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym musimy sprawdzić czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu an+1-an jest wartością stałą. Najpierw jednak trzeba znaleźć wyraz n+1. Nie jest to trudne, gdyż mamy jawnie zapisany wzór na n-ty wyraz ciągu. W więc do wzoru na n-ty wyraz ciągu podstawić n+1:

a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}tło tło tło

Badamy różnicę ciągu:

a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\\ =\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const

Różnica ciągu jest stała (nie zależy od n), więc tym samym wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby lepiej zrozumieć to zadanie przyjrzyj się prostym przykładom.

1) Ciąg 1,2,3,4,5,... jest ciągiem arytmetycznym, gdyż zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest taka sama: 2-1=3-2=4-3=an_1-an=1=constans

2) Ciąg 12,23,34,45,... jest ciągiem arytmetycznym, bo zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: 23-12=34-23=45-34=an_1-an=11=constans

Podobne rozumowanie zastosowaliśmy w rozwiązaniu niniejszego zadania.


© medianauka.pl, 2010-01-08, ZAD-494





Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.